Chủ đề này có 3 trả lời

[trananh2771998]

Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại các số nguyên dương n,x,y thoả mãn

$p^{n}= x^{3}+y^{3}$

[kinhvung]

Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại các số nguyên dương n,x,y thoả mãn

$p^{n}= x^{3}+y^{3}$

Hình gửi kèm

• 

[duongtoi]

 

Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại các số nguyên dương n,x,y thoả mãn

$p^{n}= x^{3}+y^{3}$

 

Mình thấy bài giải này có vấn đề. Số $p$ là số nguyên tố nhưng $p^n$ không phải nên hoàn toàn có thể có trường hợp $x^2-xy+y^2\ne x+y$.

 

Mình sửa lại cách làm của mình 01 tý cho đúng.

Nếu $x=y=1$ thì $p=2;n=1$ (TM)

Nếu $x>1$ hoặc $y>1$

Ta có $x+y>1;x^2-xy+y^2> 1$

Ta có, $p^n=(x+y)^3-3(x+y)xy=(x+y)(x^2-xy+y^2)\Rightarrow p^n\vdots (x+y)$ và $(x+y)^3>p^n$

Suy ra, $(x+y)=\{p;p^2;\cdots;p^{n-1}\}$, suy ra $(x+y)\ge p$

Vậy ta có $(x+y)^3\ge p^3>p^n>p\Rightarrow n=2$

+) Với $n=2$ Ta có $x+y=p;x^2-xy+y^2=p$. Suy ra, $p(p-1)=3xy\le 3.\frac{(x+y)^2}{4}=3.\frac{p^2}{4}\Leftrightarrow p(p-4)le 0$ và $p(p-1)\vdots 3$

Suy ra $p=3$

Vậy $p=2$ hoặc $p=3$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongtoi: 17-07-2013 - 11:44

[kinhvung]

Mình thấy bài giải này có vấn đề. Số $p$ là số nguyên tố nhưng $p^n$ không phải nên hoàn toàn có thể có trường hợp $x^2-xy+y^2\ne x+y$.

Ta có, $p^n=(x+y)(x^2-xy+y^2)\Rightarrow p^n\vdots (x+y);p^n\vdots (x^2-xy+y^2)$

Suy ra, $p^n\vdots 3xy$ nên $p^n\vdots 3$.

Mà $p$ là nguyên tố nên $p=3$.

Hình gửi kèm

•