Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại các số nguyên dương n,x,y thoả mãn
$p^{n}= x^{3}+y^{3}$
Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại các số nguyên dương n,x,y thoả mãn
$p^{n}= x^{3}+y^{3}$
Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại các số nguyên dương n,x,y thoả mãn
$p^{n}= x^{3}+y^{3}$
Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại các số nguyên dương n,x,y thoả mãn
$p^{n}= x^{3}+y^{3}$
Mình thấy bài giải này có vấn đề. Số $p$ là số nguyên tố nhưng $p^n$ không phải nên hoàn toàn có thể có trường hợp $x^2-xy+y^2\ne x+y$.
Mình sửa lại cách làm của mình 01 tý cho đúng.
Nếu $x=y=1$ thì $p=2;n=1$ (TM)
Nếu $x>1$ hoặc $y>1$
Ta có $x+y>1;x^2-xy+y^2> 1$
Ta có, $p^n=(x+y)^3-3(x+y)xy=(x+y)(x^2-xy+y^2)\Rightarrow p^n\vdots (x+y)$ và $(x+y)^3>p^n$
Suy ra, $(x+y)=\{p;p^2;\cdots;p^{n-1}\}$, suy ra $(x+y)\ge p$
Vậy ta có $(x+y)^3\ge p^3>p^n>p\Rightarrow n=2$
+) Với $n=2$ Ta có $x+y=p;x^2-xy+y^2=p$. Suy ra, $p(p-1)=3xy\le 3.\frac{(x+y)^2}{4}=3.\frac{p^2}{4}\Leftrightarrow p(p-4)le 0$ và $p(p-1)\vdots 3$
Suy ra $p=3$
Vậy $p=2$ hoặc $p=3$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongtoi: 17-07-2013 - 11:44
Facebook: https://www.facebook...toi?ref=tn_tnmn or https://www.facebook...GioiCungTopper/
Website: http://topper.vn/
Mail: [email protected]
Mình thấy bài giải này có vấn đề. Số $p$ là số nguyên tố nhưng $p^n$ không phải nên hoàn toàn có thể có trường hợp $x^2-xy+y^2\ne x+y$.
Ta có, $p^n=(x+y)(x^2-xy+y^2)\Rightarrow p^n\vdots (x+y);p^n\vdots (x^2-xy+y^2)$
Suy ra, $p^n\vdots 3xy$ nên $p^n\vdots 3$.
Mà $p$ là nguyên tố nên $p=3$.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh