Chủ đề này có 3 trả lời

[nguyencuong123]

cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1

Chứng Minh : $2(\sum a^{2})+12\geq 3(\sum a)+3(\sum ab)$

[Strygwyr]

Cho $a$,$b$,$c$ $>0$ thoả mãn $abc=1$

Chứng minh rằng : $2(\sum a^{2})+12\geq 3(\sum a)+3(\sum ab)$

Do $abc=1$ nên bất dẳng thức cần chứng minh có thể viết lại dưới dạng 

$\sum (2a^{2}+4-3a-\frac{3}{a})\geq 0$

 

Không mất tính tổng quát, giả sử $a=min{a,b,c}$. Dễ thấy $a\leq 1$ và $bc\geq 1$

Đặt $f(t)=2t^{2}+4-3t-\frac{3}{t}$ với $t>0$. Ta cần chứng minh $f(a)+f(b)+f$($c$)$\geq 0$

Trước hết ta sẽ chứng minh 

$f(b)+f$($c$)$\geq 2f(\sqrt{bc})$

$\Leftrightarrow 2b^{2}+2c^{2}-3b-3c-\frac{3}{b}-\frac{3}{c}\geq 4bc-6\sqrt{bc}-\frac{6}{\sqrt{bc}}$

$\Leftrightarrow 2(b-c)^{2}-3(\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2}-3(\frac{1}{\sqrt{b}}-\frac{1}{\sqrt{c}})\geq 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2}(2b+2c+4\sqrt{bc}-3a-3)\geq 0$

Do $2b+2c\geq 3a$ và $\sqrt{bc}\geq 1$ nên $(2b+2c+4\sqrt{bc}-3a-3)\geq 0$

Suy ra $f(b)+f$($c$)$\geq 2f(\sqrt{bc})$

Đặt $\sqrt{a}=x$ với $x\leq 1$, ta cần chứng minh 

$f(x^{2})+2f(\frac{1}{x})\geq 0$

$\Leftrightarrow (2x^{4}+4-3x^{2}-\frac{3}{x^{2}})+2(\frac{4}{x^{2}}+8-\frac{6}{x}-6x)\geq 0$

$\Leftrightarrow 2x^{6}-3x^{4}-6x^{3}+12x^{2}-6x+1\geq 0$

$\Leftrightarrow (x-1)^{2}(2x^{4}+4x^{3}+3x^{2}-4x+1)\geq 0$

Do $2x^{4}+4x^{3}+3x^{2}-4x+1=x^{2}(x+1)^{2}+(x^{2}+2x-1)^{2}\geq 0$

nên $(x-1)^{2}(2x^{4}+4x^{3}+3x^{2}-4x+1)\geq 0$

Vậy $f(a)+f(b)+f$($c$)$\geq 0$

dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 17-07-2013 - 09:57

[nguyencuong123]

Chứng minh dài dòng mà khó hiểu: Cách này dễ hiểu mà hiệu quả và cũng đúng với phương châm học toán hơn:

Bđt tương đương: $2(a+b+c)+12\geq 3(a+b+c)+7|(ab+bc+ac)$

đặt : $a+b+c=p,ab+bc+ca=q \Rightarrow p^{3}+9r\geq 4pq$ (Schur)

Nên: Ta chỉ cần chứng minh: $2P^{2}+12\geq 3P+7(\frac{p^{3}+9}{4p})\Leftrightarrow (p-3)(p^{2}-9p+21)\geq 0$

điều này luôn đúng vì p$\geq$3

[babystudymaths]

Chứng minh dài dòng mà khó hiểu: Cách này dễ hiểu mà hiệu quả và cũng đúng với phương châm học toán hơn:

Bđt tương đương: $2(a+b+c)+12\geq 3(a+b+c)+7|(ab+bc+ac)$

đặt : $a+b+c=p,ab+bc+ca=q \Rightarrow p^{3}+9r\geq 4pq$ (Schur)

Nên: Ta chỉ cần chứng minh: $2P^{2}+12\geq 3P+7(\frac{p^{3}+9}{4p})\Leftrightarrow (p-3)(p^{2}-9p+21)\geq 0$

điều này luôn đúng vì p$\geq$3

Cách của namsub cũng hay mà,chẳng qua là vì bạn ấy quá chi tiết nên nó mới hơi dài như thế

p/s: phương châm học toán là gì,bạn có thể nói rõ hơn được không?