Chủ đề này có 2 trả lời

[gogeta]

1. Tìm $\overline{xy}$ biết $\frac{xy}{\left | x-y \right |}$ là số nguyên tố.

2. Cho $a\in \mathbb{N}, a>1$. Chứng minh $A=a^{4}+4^{a}$ là hợp số.

3. Tìm $\overline{xyz}$ là số có 3 chữ số, thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} \overline{xyz}=n^2-1\\\overline{zyx}=(n-2)^2\ \end{matrix}\right.$ với $n\in \mathbb{Z}, n>2$.

4. Tìm các số nguyên a, b sao cho ab=p(a+b) với p là một số nguyên tố cho trước.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gogeta: 17-07-2013 - 12:10

[Ha Manh Huu]

bài 3 trừ vế ta có $99(x-z)=4n-3$ (1)

do 99 chia 4 dư 3 và 4n-3 chia 4 dư 1

nên từ đây ta có x>z và x-z chia 4 dư 3 từ đó $x \geq z+3$ từ đây ta có z lớn nhất = 6 

do đó $699 \geq (n-2)^{2} $ do đó $n-2 \leq 26 $ do đó $n \leq 28 $

ta cũng có $x\geq 4\Rightarrow n^{2}-1\geq 400\Rightarrow n\geq 21$
mặt khác từ (1) ta cũng có n chia hết cho 3

do đó n=21,24,27

đến thay vô ko có

 

 

 

tớ làm có sai ko nhỉ thấy cứ sai sai thế nào ý

[DarkBlood]

1. Tìm $\overline{xy}$ biết $\frac{xy}{\left | x-y \right |}$ là số nguyên tố.

2. Cho $a\in \mathbb{N}, a>0$. Chứng minh $A=a^{4}+4^{a}$ là hợp số.

3. Tìm $\overline{xyz}$ là số có 3 chữ số, thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} \overline{xyz}=n^2-1\\\overline{zyx}=(n-2)^2\ \end{matrix}\right.$ với $n\in \mathbb{Z}, n>2$.

4. Tìm các số nguyên a, b sao cho ab=p(a+b) với p là một số nguyên tố cho trước.

Câu 2 bạn tham khảo bài sau:

 

Bài 18: Xác định tất cả số nguyên n để $n^{4}+4^{n}$ không những là số nguyên mà còn là số nguyên tố.

 

Trường hợp 1: $n\leq 1,$ ta có $n^4\in \mathbb{Z}\ ;\ 4^n \notin \mathbb{Z}\Rightarrow n^4+4^n \notin \mathbb{Z},$ loại.

 

Trường hợp 2: $n=0,$ ta có $n^4+4^n=0^4+4^0=1,$ không là số nguyên tố.

 

Trường hợp 3: $n=1,$ ta có $n^4+4^n=1^4+4^1=5,$ là số nguyên tố.

 

Trường hợp 4: $n\geq 2,$ xét 2 trường hợp:

 

      $\bullet$ Trường hợp 4a: $n$ chăn.

 

Khi đó $n^4+4^n\ \vdots\ 2,$ mặt khác $n^4+4^n>2$ $(n\geq 2)$ nên $n^4+4^n$ không là số nguyên tố.

 

      $\bullet$ Trường hợp 4b: $n$ lẻ. Đặt $n=2k+1\ (k\in \mathbb{Z}^+).$

 

Ta có $n^4+4^n=n^4+2.n^2.2^{2k+1}+4^{2k+1}-n^2.2^{2k+2}=(n^2+2^{2k+1})^2-n^2.2^{2k+2}=(n^2+2^{2k+1}+2.n.2^{k})(n^2+2^{2k+1}-2.n.2^{k})$

 

Vì $n\geq 2$ nên $n^2+2^{2k+1}+2.n.2^k$

 

Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: $n^2+2^{2k+1}>n^2+2^{2k}+1\geq 2.n.2^k+1$ hay $n^2+2^{2k+1}-2.n.2^k>1$

 

Do đó $n^4+4^n$ không là số nguyên tố.

 

Kết luận: Vậy với $n=1$ thì $n^4+4^n$ là số nguyên tố.

 

Câu 3: 

$\left\{\begin{matrix} \overline{xyz}=n^2-1\ \ \ \ \ \ (1)\\\overline{zyx}=(n-2)^2\ \ \ \ (2)\end{matrix}\right.$

Từ (1) và (2) ta có $(n^2-1)-(n-2)^2=\overline{xyz}-\overline{zyx}$

$\Leftrightarrow 4n-5=99x-99z=99(x-z)$

Do đó $4n-5\ \vdots\ 99$

Mặt khác $100\leq \overline{xyz}=n^2-1\leq 999 \Leftrightarrow 11\leq n\leq 31 \Leftrightarrow 39\leq 4n-5\leq 119$

Suy ra $4n-5=99 \Leftrightarrow n=26$

Khi đó $\overline{xyz}=675\ ;\ \overline{zyx}=576$ $($Thỏa mãn$)$

 

Câu 4: Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\Leftrightarrow a-p\geq b-p$

Ta có $ab=p(a+b) \Leftrightarrow ab-pa-pb=0 \Leftrightarrow (a-p)(b-p)=p^2$

Vì $p$ là số nguyên tố nên ước của $p$ gồm $\pm 1\ ;\ \pm p\ ;\ \pm p^2$

Do đó, ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: $\left\{\begin{matrix} a-p=-1\\ b-p=-p^2 \end{matrix}\right.$

Trường hợp 2: $\left\{\begin{matrix} a-p=p^2\\ b-p=1 \end{matrix}\right.$

Trường hợp 3: $\left\{\begin{matrix} a-p=p\\ b-p=p \end{matrix}\right.$

Trường hợp 4: $\left\{\begin{matrix} a-p=-p\\ b-p=-p \end{matrix}\right.$

Giải các trường hợp trên và thử lại. 

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là

$\boxed{(a\ ;\ b)=(p+1\ ;\ p^2+p),(p^2+p\ ;\ p+1),(2p\ ;\ 2p),(0\ ;\ 0),(p-1\ ;\ p-p^2),(p-p^2\ ;\ p-1)}$

 

Câu 1 giải tương tự bài 4, xét thêm một số trường hợp của $p=\frac{xy}{\left | x-y \right |}$ (số nguyên tố) để tìm $x\ ;\ y$ $(1\leq x\leq 9\ ;\ 0\leq y\leq 9)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 17-07-2013 - 00:27