Chủ đề này có 3 trả lời

[jandithuhoai25]

Cho a,b,c là 3 số thực t/m: ab+bc+ca$\geq$ 3

Cm; $\frac{a^{4}}{b+3c} + \frac{b^{4}}{c+3a}+\frac{c^{4}}{a+3b}\geq \frac{3}{4}$

[Simpson Joe Donald]

Xem tại đây : http://diendan.hocma...295#post2337295

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Simpson Joe Donald: 17-07-2013 - 10:35

[Christian Goldbach]

Cho a,b,c là 3 số thực t/m: ab+bc+ca$\geq$ 3

Cm; $\frac{a^{4}}{b+3c} + \frac{b^{4}}{c+3a}+\frac{c^{4}}{a+3b}\geq \frac{3}{4}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$\sum \frac{a^4}{b+3c}\geq \frac{(\sum a^2)^2}{4(a+b+c)}=\frac{(a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}{4(a+b+c)}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^2}{3}.(ab+bc+ca)}{4(a+b+c)}=\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{12}$

Lại có: $(a+b+c)^2\geq 3ab+3bc+3ca\geq 9\Rightarrow a+b+c\geq 3$

Do đó :$\sum \frac{a^4}{b+3c}\geq \frac{3}{4}$

[Yagami Raito]

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có 

 

$\frac{a^{4}}{b+3c} + \frac{b^{4}}{c+3a}+\frac{c^{4}}{a+3b}\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{4(a+b+c)}\geq \frac{(\frac{(a+b+c)^2}{3})^2}{4(a+b+c)}=\frac{(a+b+c)^4}{36(a+b+c)}$

Mà $(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)=9$ nên $x+y+z \geq 3$

Thay vào ta có đpcm

P/s: mọi ngừoi viết nhanh quá