Chủ đề này có 7 trả lời

[ongngua97]

1/Cho a,b,c>0 và $a+b+c=3$

 

CMR: $\frac{a}{b+c^{2}}+\frac{b}{c+a^{2}}+\frac{c}{a+b^{2}}\geq \frac{3}{2}$

 

2/Cho a,b,c >0

CMR: $\sum a^{3}+4\sum a^{2}b\geq 5\sum ab^{2}$

 

3/Cho a,b,c >0 a+b+c=3

 

CMR $\sum \frac{a}{a+b^{2}}\geq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongngua97: 18-07-2013 - 17:46

[babystudymaths]

Áp dụng Cacuchy Schawrz :

$$VT\geq\frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+ab+bc+ca}$$

Ta có : 

$$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})=(a^{3}+ab^{2})+(b^{3}+bc^{2})+(c^{3}+ca^{2})+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\geq 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\Rightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$$

Suy ra :

$$VT\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\frac{2}{3}.(a+b+c)^{2}}=\frac{3}{2}$$

Đây là đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

 

  Cám ơn anh Hòa. Ngược dấu mất rồi, mod nào thấy bài viết này thì ẨN  giùm nhé !   

Cái này theo cách mình biết thì nhân thêm và C-S,hơi trâu vì lớn quá

[Strygwyr]

3/Cho a,b,c>0 và $a+b+c=3$

 

CMR: $\frac{a}{a+b^{2}}+\frac{b}{b+c^{2}}+\frac{c}{c+a^{2}}\geq \frac{3}{2}$

 

Bài này em nhớ là có $2$ cách, nhưng giờ mới nghĩ ra $1$ cách thôi, cách sau tí nữa em nghĩ ra thì em sẽ post

Áp dụng $Cauchy-Schwarz$, ta có :

$\sum \frac{a^{4}}{a^{3}+a^{2}b^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum a^{3}+\sum a^{2}b^{2}}$

 

Ta cần chứng minh : 

$\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum a^{3}+\sum a^{2}b^{2}}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow 2(\sum a^{2})^{2}\geq 3\sum a^{3}+3\sum a^{2}b^{2}$

$\Leftrightarrow 2\sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq 3\sum a^{3}$

$\Leftrightarrow 2\sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq(a+b+c)(a^{3}+b^{3}+c^{3})$

$\Leftrightarrow \sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq \sum ab(a^{2}+b^{2})$

 

Áp dụng $AM-GM$, ta có :

$(a^{4}+a^{2}b^{2})+(b^{4}+a^{2}b^{2})\geq 2(a^{3}b+ab^{3})=2ab(a^{2}+b^{2})$

Suy ra  $\sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq \sum ab(a^{2}+b^{2})$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

 

Còn đây là cách $2$, nó không được trâu như cách $1$

Vì $a+b+c=3$ nên ta có : 

$3-(\sum \frac{a^{2}}{a+b^{2}})=\sum (a-\frac{a^{2}}{a+b^{2}})=\sum \frac{ab^{2}}{a+b^{2}}$

Áp dụng $AM-GM$, ta có :

 

$\frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\leq \frac{ab^{2}}{2\sqrt{ab^{2}}}=\frac{\sqrt{ab^{2}}}{2}\leq \frac{ab+b}{4}$

Suy ra $\sum \frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\leq \frac{1}{4}(a+b+c+ab+bc+ca)=\frac{1}{4}(3+ab+bc+ca)$

Lại có $ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=3$ nên 

$\sum \frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{a+b^{2}}\geq \frac{3}{2}$

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 18-07-2013 - 17:39

[Nguyen Huy Tuyen]

Bài này em nhớ là có $2$ cách, nhưng giờ mới nghĩ ra $1$ cách thôi, cách sau tí nữa em nghĩ ra thì em sẽ post

Áp dụng $Cauchy-Schwarz$ 

$\sum \frac{a^{4}}{a^{3}+a^{2}b^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum a^{3}+\sum a^{2}b^{2}}$

 

Ta cần chứng minh : 

$\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum a^{3}+\sum a^{2}b^{2}}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow 2(\sum a^{2})^{2}\geq 3\sum a^{3}+3\sum a^{2}b^{2}$

$\Leftrightarrow 2\sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq 3\sum a^{3}$

$\Leftrightarrow 2\sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq(a+b+c)(a^{3}+b^{3}+c^{3})$

$\Leftrightarrow \sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq \sum ab(a^{2}+b^{2})$

 

Áp dụng $AM-GM$, ta có :

$(a^{4}+a^{2}b^{2})+(b^{4}+a^{2}b^{2})\geq 2(a^{3}b+ab^{3})=2ab(a^{2}+b^{2})$

Suy ra  $\sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq \sum ab(a^{2}+b^{2})$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

Đề bài cho thế này đâu bạn !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Huy Tuyen: 18-07-2013 - 17:05

[ongngua97]

Bài này em nhớ là có $2$ cách, nhưng giờ mới nghĩ ra $1$ cách thôi, cách sau tí nữa em nghĩ ra thì em sẽ post

Áp dụng $Cauchy-Schwarz$, ta có :

$\sum \frac{a^{4}}{a^{3}+a^{2}b^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum a^{3}+\sum a^{2}b^{2}}$

 

 

Chỗ này phải là $\sum \frac{a^{4}}{a^{3}b+a^{3}c^{2}}$chứ bạn hiền.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongngua97: 18-07-2013 - 17:20

[Strygwyr]

1/Cho a,b,c>0 và $a+b+c=3$

 

CMR: $\frac{a}{b+c^{2}}+\frac{b}{c+a^{2}}+\frac{c}{a+b^{2}}\geq \frac{3}{2}$

 

Giờ mới đúng đề.

Áp dụng $Cauchy-Schwarz$, ta có : 

$\sum \frac{a^{4}}{a^{2}b+a^{2}c^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum a^{2}b+\sum a^{2}b^{2}}$

 

Ta cần chứng minh 

$\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum a^{2}b+\sum a^{2}b^{2}}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow 2(\sum a^{2})^{2}\geq 3\sum a^{2}b+3\sum a^{2}b^{2}$

$\Leftrightarrow 2\sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq (a+b+c)(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$

$\Leftrightarrow 2\sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq \sum a^{3}b+\sum a^{2}b^{2}+abc(a+b+c)$

$\Leftrightarrow \sum 2a^{4}\geq \sum a^{3}b+abc(a+b+c)$

 

Áp dụng $AM-GM$, ta có :

$\sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq 2\sum a^{3}b$

 

Suy ra, ta chỉ cần chứng minh được :

$3\sum a^{4}\geq \sum a^{2}b^{2}+2abc(a+b+c)$

 

Theo $AM-GM$, ta có : 

$\sum a^{4}\geq \sum a^{2}b^{2}$

Theo $Cauchy-Schwarz$ và $AM-GM$, ta có : 

$3(\sum a^{4})\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq 3abc(a+b+c)$

 

Vậy, ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Spoiler

Lại sai để, thôi không muốn sửa nữa, link đây, mọi người tham khảo nhé http://diendantoanho...eqslant-text-3/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 19-07-2013 - 09:26

[nguyencuong123]

Giờ mới đúng đề.

Áp dụng $Cauchy-Schwarz$, ta có : 

$\sum \frac{a^{4}}{a^{2}b+a^{2}c^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum a^{2}b+\sum a^{2}b^{2}}$

 

Ta cần chứng minh 

$\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum a^{2}b+\sum a^{2}b^{2}}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow 2(\sum a^{2})^{2}\geq 3\sum a^{2}b+3\sum a^{2}b^{2}$

$\Leftrightarrow 2\sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq (a+b+c)(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$

$\Leftrightarrow 2\sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq \sum a^{3}b+\sum a^{2}b^{2}+abc(a+b+c)$

$\Leftrightarrow \sum 2a^{4}\geq \sum a^{3}b+abc(a+b+c)$

 

Áp dụng $AM-GM$, ta có :

$\sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq 2\sum a^{3}b$

 

Suy ra, ta chỉ cần chứng minh được :

$3\sum a^{4}\geq \sum a^{2}b^{2}+2abc(a+b+c)$

 

Theo $AM-GM$, ta có : 

$\sum a^{4}\geq \sum a^{2}b^{2}$

Theo $Cauchy-Schwarz$ và $AM-GM$, ta có : 

$3(\sum a^{4})\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq 3abc(a+b+c)$

 

Vậy, ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Sai rồi nam ơi chỗ áp dụng $Cauchy-Schwarz$, ta có :

$\sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq 2\sum a^{3}b$

đó là nhân cả tử và mẫu với $a^{3}$ mà.Bạn chỉ nhân ở tử còn mẫu nhân sai rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyencuong123: 18-07-2013 - 21:43

[BoFaKe]

2/Cho a,b,c >0

CMR: $\sum a^{3}+4\sum a^{2}b\geq 5\sum ab^{2}$

Nếu đề là $a^{3}+b^{3}+c^{3}+4(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\geq 5(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})$ thì nó sai với $a=1,7;b=0,3;c=1$.