3/Cho a,b,c>0 và $a+b+c=3$
CMR: $\frac{a}{a+b^{2}}+\frac{b}{b+c^{2}}+\frac{c}{c+a^{2}}\geq \frac{3}{2}$
Bài này em nhớ là có $2$ cách, nhưng giờ mới nghĩ ra $1$ cách thôi, cách sau tí nữa em nghĩ ra thì em sẽ post
Áp dụng $Cauchy-Schwarz$, ta có :
$\sum \frac{a^{4}}{a^{3}+a^{2}b^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum a^{3}+\sum a^{2}b^{2}}$
Ta cần chứng minh :
$\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum a^{3}+\sum a^{2}b^{2}}\geq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow 2(\sum a^{2})^{2}\geq 3\sum a^{3}+3\sum a^{2}b^{2}$
$\Leftrightarrow 2\sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq 3\sum a^{3}$
$\Leftrightarrow 2\sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq(a+b+c)(a^{3}+b^{3}+c^{3})$
$\Leftrightarrow \sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq \sum ab(a^{2}+b^{2})$
Áp dụng $AM-GM$, ta có :
$(a^{4}+a^{2}b^{2})+(b^{4}+a^{2}b^{2})\geq 2(a^{3}b+ab^{3})=2ab(a^{2}+b^{2})$
Suy ra $\sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq \sum ab(a^{2}+b^{2})$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
Còn đây là cách $2$, nó không được trâu như cách $1$
Vì $a+b+c=3$ nên ta có :
$3-(\sum \frac{a^{2}}{a+b^{2}})=\sum (a-\frac{a^{2}}{a+b^{2}})=\sum \frac{ab^{2}}{a+b^{2}}$
Áp dụng $AM-GM$, ta có :
$\frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\leq \frac{ab^{2}}{2\sqrt{ab^{2}}}=\frac{\sqrt{ab^{2}}}{2}\leq \frac{ab+b}{4}$
Suy ra $\sum \frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\leq \frac{1}{4}(a+b+c+ab+bc+ca)=\frac{1}{4}(3+ab+bc+ca)$
Lại có $ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=3$ nên
$\sum \frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{a+b^{2}}\geq \frac{3}{2}$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 18-07-2013 - 17:39