Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$u_{0}=\frac{1}{2},u_{k+1}=u_{k}+\frac{1}{n}u_{k}^{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 18-07-2013 - 14:18

Cho dãy $(u_{n})$ thoả mãn: $\left\{\begin{matrix} u_{0}=\frac{1}{2}\\u_{k+1}=u_{k}+\frac{1}{n}u_{k}^{2},\forall k=\overline{0,n-1} \end{matrix}\right.$

Tìm $\lim u_{n}$


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#2 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1811 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 23-05-2018 - 13:39

Cho dãy $(u_{n})$ thoả mãn: $\left\{\begin{matrix} u_{0}=\frac{1}{2}\\u_{k+1}=u_{k}+\frac{1}{n}u_{k}^{2},\forall k=\overline{0,n-1} \end{matrix}\right.$

Tìm $\lim u_{n}$

 

Đề sai rồi!


Đời người là một hành trình...


#3 mduc123

mduc123

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:yêu thiên nhiên, cây cỏ

Đã gửi 23-05-2018 - 16:41

Cho dãy $(u_{n})$ thoả mãn: $\left\{\begin{matrix} u_{0}=\frac{1}{2}\\u_{k+1}=u_{k}+\frac{1}{n}u_{k}^{2},\forall k=\overline{0,n-1} \end{matrix}\right.$

Tìm $\lim u_{n}$

Lời giải:

$u_{k+1}=u_{k}+\frac{1}{n}u_{k}^{2}\Rightarrow nu_{k+1}=nu_{k}+u_{k}^{2}\Rightarrow (u_{k+1}-u_{k})(n+u_{k})=u_{k}u_{k+1}$

$\Rightarrow \frac{1}{u_{k}}-\frac{1}{u_{k+1}}=\frac{1}{n+u_{k}}$. 

$\Rightarrow \sum_{j=0}^{n-1}(\frac{1}{u_{j}}-\frac{1}{u_{j+1}})=\frac{1}{u_{0}}-\frac{1}{u_{n}}=2-\frac{1}{u_{n}}< n.\frac{1}{n}=1\Rightarrow u_{n}< 1$ (1)

$2-\frac{1}{u_{n}}> \frac{n}{n+1}$ (do $u_{n}<1$ ) $u_{n}> \frac{n+1}{n+2}$ (2)

Từ (1) và (2) $\frac{n+1}{n+2}< u_{n} < 1$.

Theo nguyên lý kẹp ta có $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=1$



#4 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 23-05-2018 - 23:28

Lời giải:

$u_{k+1}=u_{k}+\frac{1}{n}u_{k}^{2}\Rightarrow nu_{k+1}=nu_{k}+u_{k}^{2}\Rightarrow (u_{k+1}-u_{k})(n+u_{k})=u_{k}u_{k+1}$

$\Rightarrow \frac{1}{u_{k}}-\frac{1}{u_{k+1}}=\frac{1}{n+u_{k}}$. 

$\Rightarrow \sum_{j=0}^{n-1}(\frac{1}{u_{j}}-\frac{1}{u_{j+1}})=\frac{1}{u_{0}}-\frac{1}{u_{n}}=2-\frac{1}{u_{n}}< n.\frac{1}{n}=1\Rightarrow u_{n}< 1$ (1)

$2-\frac{1}{u_{n}}> \frac{n}{n+1}$ (do $u_{n}<1$ ) $u_{n}> \frac{n+1}{n+2}$ (2)

Từ (1) và (2) $\frac{n+1}{n+2}< u_{n} < 1$.

Theo nguyên lý kẹp ta có $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=1$

Lời giải đúng nhưng có vài chỗ chưa rõ ràng lắm. Mình xin phép chỉnh sửa lại một chút :

 

$\left\{\begin{matrix}u_{k+1}=u_k+\frac{1}{n}u_k^2\\u_0> 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow (u_n)$ là dãy số tăng $\Rightarrow u_k> u_0> 0,\forall k=\overline{1,n}$

(...............)

$\Rightarrow \frac{1}{u_k}-\frac{1}{u_{k+1}}=\frac{1}{n+u_k}< \frac{1}{n}$ (vì $u_k> 0$)

$\Rightarrow \sum_{j=0}^{n-1}\left ( \frac{1}{u_j}-\frac{1}{u_{j+1}} \right )< n.\frac{1}{n}=1\Rightarrow \frac{1}{u_0}-\frac{1}{u_n}=2-\frac{1}{u_n}< 1\Rightarrow u_n< 1$

Vì $(u_n)$ là dãy tăng mà $u_n< 1$ (số hạng cuối cùng nhỏ hơn $1$) $\Rightarrow 0<u_k< 1,\forall k=\overline{0,n}$

$\Rightarrow \frac{1}{n+1}< \frac{1}{n+u_k}=\frac{1}{u_k}-\frac{1}{u_{k+1}}$

$\Rightarrow n.\frac{1}{n+1}< \sum_{j=0}^{n-1}\left ( \frac{1}{u_j}-\frac{1}{u_{j+1}} \right )=\frac{1}{u_0}-\frac{1}{u_n}\Rightarrow \frac{n}{n+1}< 2-\frac{1}{u_n}$

Kết hợp với ở trên, ta có $\frac{n}{n+1}< 2-\frac{1}{u_n}< 1$

Theo nguyên lý kẹp $\Rightarrow \lim_{n\to+\infty}\left ( 2-\frac{1}{u_n} \right )=1\Rightarrow \lim_{n\to+\infty}u_n=1$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1811 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 26-05-2018 - 14:09

Lời giải:

 

 

Bài này cũng có thể giải được sao? Ngay cả $u_2$, mình cũng không biết xác định như thế nào!


Đời người là một hành trình...


#6 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 26-05-2018 - 16:54

Bài này cũng có thể giải được sao? Ngay cả $u_2$, mình cũng không biết xác định như thế nào!

Để cho dễ hiểu, cái đề cần phải sửa lại thế này :

Cho $(u_n)$ là một dãy số hữu hạn gồm n+1 số hạng : $u_0,u_1,u_2,...,u_n$ thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix}u_0=\frac{1}{2}\\u_{k+1}=u_k+\frac{1}{n}\ u_k^2,\forall k=\overline{0,n-1} \end{matrix}\right.$

Cho $n$ tiến đến vô cùng, hãy tính $\lim u_n$ ?

 

(Tức là với mỗi giá trị của $n$, ta có một dãy số hữu hạn khác nhau (với số hạng cuối cùng là $u_n$). Cần tính xem khi $n$ tiến đến vô cùng thì số hạng cuối cùng đó tiến đến bao nhiêu ?)


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#7 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1811 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 27-05-2018 - 00:17

Để cho dễ hiểu, cái đề cần phải sửa lại thế này :

Cho $(u_n)$ là một dãy số hữu hạn gồm n+1 số hạng : $u_0,u_1,u_2,...,u_n$ thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix}u_0=\frac{1}{2}\\u_{k+1}=u_k+\frac{1}{n}\ u_k^2,\forall k=\overline{0,n-1} \end{matrix}\right.$

Cho $n$ tiến đến vô cùng, hãy tính $\lim u_n$ ?

 

(Tức là với mỗi giá trị của $n$, ta có một dãy số hữu hạn khác nhau (với số hạng cuối cùng là $u_n$). Cần tính xem khi $n$ tiến đến vô cùng thì số hạng cuối cùng đó tiến đến bao nhiêu ?)

 

Vậy đó là một đề bài khác, không phải đề bài này.


Đời người là một hành trình...





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh