Cho x2 +y2 +z2 = 3. Tìm min:
$\frac{4+x}{4-x^{2}} + \frac{4+y}{4-y^{2}}+ \frac{4+z}{4-z^{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinhxuanbaohung: 18-07-2013 - 17:19
Cho x2 +y2 +z2 = 3. Tìm min:
$\frac{4+x}{4-x^{2}} + \frac{4+y}{4-y^{2}}+ \frac{4+z}{4-z^{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinhxuanbaohung: 18-07-2013 - 17:19
sao a,b,c lai tim min x,y,z the kia
chắc bạn ấy nhầm đó mà , với cả tìm max mà bạn
ah xin lỗi
bài đăng lần đầu
đó là tìm min = 5/3
ah xin lỗi
bài đăng lần đầu
đó là tìm min = 5/3
Min=5 Bạn ạ:
Ta có:$\sum \frac{4+x}{4-x^{2}}=\sum \frac{1}{2-x}+\sum \frac{2}{4-x^{2}}$
đối với $\sum \frac{2}{4-x^{2}}$ chỉ việc C-S là ra.
Chỉ cần chứng minh $\sum \frac{1}{2-x}\geq 3$ là xong.
Ta có: $\sum \frac{1}{2-x}\geq 3\Leftrightarrow \sum \frac{2}{2-x}\geq 6\Leftrightarrow \sum \frac{2}{2-x}-3\geq 3\Leftrightarrow \sum \frac{x}{2-x}\geq 3$
Ta có: $\sum \frac{x}{2-x}\geq \frac{(\sum x^{2})^{2}}{2\sum x^{3}-\sum x^{4}}=\frac{9}{2\sum x^{3}-\sum x^{4}}$
Ta chỉ cần chứng minh:$2\sum x^{3}-\sum x^{4}\leq 3$ là xong
Ta có:$2\sum x^{3}-\sum x^{4}\leq 3\Leftrightarrow 3+\sum x^{4}\geq 2\sum x^{3}\Leftrightarrow \sum x^{2}+\sum x^{4}\geq 2x^{3}$ (CM-GM là ra luôn bạn ạ)
Min=5 Bạn ạ:
Ta có:$\sum \frac{4+x}{4-x^{2}}=\sum \frac{1}{2-x}+\sum \frac{2}{4-x^{2}}$
đối với $\sum \frac{2}{4-x^{2}}$ chỉ việc C-S là ra.
Chỉ cần chứng minh $\sum \frac{1}{2-x}\geq 3$ là xong.
Ta có: $\sum \frac{1}{2-x}\geq 3\Leftrightarrow \sum \frac{2}{2-x}\geq 6\Leftrightarrow \sum \frac{2}{2-x}-3\geq 3\Leftrightarrow \sum \frac{x}{2-x}\geq 3$
Ta có: $\sum \frac{x}{2-x}\geq \frac{(\sum x^{2})^{2}}{2\sum x^{3}-\sum x^{4}}=\frac{9}{2\sum x^{3}-\sum x^{4}}$
Ta chỉ cần chứng minh:$2\sum x^{3}-\sum x^{4}\leq 3$ là xong
Ta có:$2\sum x^{3}-\sum x^{4}\leq 3\Leftrightarrow 3+\sum x^{4}\geq 2\sum x^{3}\Leftrightarrow \sum x^{2}+\sum x^{4}\geq 2x^{3}$ (CM-GM là ra luôn bạn ạ)
Lời giải của bạn sai hoàn toàn
Bạn cứ thử cho $x=y=z=-1$ xem min có bằng $5$ nữa không
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
Cho x2 +y2 +z2 = 3. Tìm min:
$\frac{4+x}{4-x^{2}} + \frac{4+y}{4-y^{2}}+ \frac{4+z}{4-z^{2}}$
Bài này nhìn chung khá là lừa tình
Dễ thấy $x,y,z \in[-\sqrt{3};\sqrt{3}]$ suy ra $4-x^{2}>0$, $4-y^{2}>0$, $4-z^{2}>0$ và $4-x>0$,$4-y>0$,$4-z>0$
Ta có nhận xét sau :
Nếu có ít nhất $1$ trong các số $x$,$y$,$z$ dương, không mất tính tổng quát giả sử $x>0$ thì
$\frac{4+x}{4-x^{2}}>\frac{4-x}{4-x^{2}}>0$
$\Rightarrow\sum \frac{4+x}{4-x^{2}}>\frac{4-x}{4-x^{2}}+\frac{4+y}{4-y^{2}}+\frac{4+z}{4-z^{2}}$
nên dễ thấy để $\sum \frac{4+x}{4-x^{2}}$ đạt GTNN thì các số $x$,$y$,$z$ đều không dương.
Đặt $a=-x$,$b=-y$,$c=-z$. Dễ thấy $a,b,c\in [0;\sqrt{3}]$
Khi đó, xét biểu thức $P=\sum \frac{4-a}{4-a^{2}}$
$P=\sum \frac{4-a}{4-a^{2}}=\sum \frac{1}{2+a}+\sum \frac{2}{4-a^{2}}$
Áp dụng $Cauchy-Schwarz$, ta có :
$\sum \frac{1}{2+a}\geq \frac{9}{6+a+b+c}\geq\frac{9}{6+\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}=1$
$\sum \frac{2}{4-a^{2}}\geq \frac{18}{12-a^{2}-b^{2}-c^{2}}=2$
Suy ra $P\geq 3$
Vậy min$\sum \frac{4+x}{4-x^{2}}=3$ khi và chỉ khi $x=y=z=-1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 20-07-2013 - 06:03
"Nothing is impossible"
(Napoleon Bonaparte)
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh