Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh bất đảng thức

giá trị lớn nhất

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Dinhxuanbaohung

Dinhxuanbaohung

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết

Cho x2 +y2 +z2 = 3. Tìm min:

 

$\frac{4+x}{4-x^{2}} + \frac{4+y}{4-y^{2}}+ \frac{4+z}{4-z^{2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinhxuanbaohung: 18-07-2013 - 17:19


#2
ngoctruong236

ngoctruong236

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết

sao a,b,c lai tim min x,y,z the kia



#3
hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết

sao a,b,c lai tim min x,y,z the kia

chắc bạn ấy nhầm đó mà  , với cả tìm max mà bạn :icon6:  :icon6:  :icon6:



#4
Dinhxuanbaohung

Dinhxuanbaohung

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết

ah xin lỗi 

bài đăng lần đầu

đó là tìm min = 5/3



#5
nguyencuong123

nguyencuong123

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 587 Bài viết

ah xin lỗi 

bài đăng lần đầu

đó là tìm min = 5/3

Min=5 Bạn ạ:

 

Ta có:$\sum \frac{4+x}{4-x^{2}}=\sum \frac{1}{2-x}+\sum \frac{2}{4-x^{2}}$

đối với $\sum \frac{2}{4-x^{2}}$ chỉ việc C-S là ra.

Chỉ cần chứng minh $\sum \frac{1}{2-x}\geq 3$ là xong. 

Ta có: $\sum \frac{1}{2-x}\geq 3\Leftrightarrow \sum \frac{2}{2-x}\geq 6\Leftrightarrow \sum \frac{2}{2-x}-3\geq 3\Leftrightarrow \sum \frac{x}{2-x}\geq 3$

 

Ta có: $\sum \frac{x}{2-x}\geq \frac{(\sum x^{2})^{2}}{2\sum x^{3}-\sum x^{4}}=\frac{9}{2\sum x^{3}-\sum x^{4}}$

Ta chỉ cần chứng minh:$2\sum x^{3}-\sum x^{4}\leq 3$ là xong

Ta có:$2\sum x^{3}-\sum x^{4}\leq 3\Leftrightarrow 3+\sum x^{4}\geq 2\sum x^{3}\Leftrightarrow \sum x^{2}+\sum x^{4}\geq 2x^{3}$ (CM-GM là ra luôn bạn ạ)


    :icon12:  :icon12:  :icon12:   Bình minh tắt nắng trời vương vấn :icon12:  :icon12:  :icon12:       

      :icon12: Một cõi chơi vơi, ta với ta  :icon12:       

:nav: My Facebook  :nav:  

 


#6
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết

Min=5 Bạn ạ:

 

Ta có:$\sum \frac{4+x}{4-x^{2}}=\sum \frac{1}{2-x}+\sum \frac{2}{4-x^{2}}$

đối với $\sum \frac{2}{4-x^{2}}$ chỉ việc C-S là ra.

Chỉ cần chứng minh $\sum \frac{1}{2-x}\geq 3$ là xong. 

Ta có: $\sum \frac{1}{2-x}\geq 3\Leftrightarrow \sum \frac{2}{2-x}\geq 6\Leftrightarrow \sum \frac{2}{2-x}-3\geq 3\Leftrightarrow \sum \frac{x}{2-x}\geq 3$

 

Ta có: $\sum \frac{x}{2-x}\geq \frac{(\sum x^{2})^{2}}{2\sum x^{3}-\sum x^{4}}=\frac{9}{2\sum x^{3}-\sum x^{4}}$

Ta chỉ cần chứng minh:$2\sum x^{3}-\sum x^{4}\leq 3$ là xong

Ta có:$2\sum x^{3}-\sum x^{4}\leq 3\Leftrightarrow 3+\sum x^{4}\geq 2\sum x^{3}\Leftrightarrow \sum x^{2}+\sum x^{4}\geq 2x^{3}$ (CM-GM là ra luôn bạn ạ)

Lời giải của bạn sai hoàn toàn -_-

Bạn cứ thử cho $x=y=z=-1$ xem min có bằng $5$ nữa không :)


"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#7
Strygwyr

Strygwyr

    Sk8er-boi

  • Thành viên
  • 272 Bài viết


Cho x2 +y2 +z2 = 3. Tìm min:

 

$\frac{4+x}{4-x^{2}} + \frac{4+y}{4-y^{2}}+ \frac{4+z}{4-z^{2}}$

Bài này nhìn chung khá là lừa tình :P

Dễ thấy $x,y,z \in[-\sqrt{3};\sqrt{3}]$ suy ra $4-x^{2}>0$, $4-y^{2}>0$, $4-z^{2}>0$ và $4-x>0$,$4-y>0$,$4-z>0$

Ta có nhận xét sau :

Nếu có ít nhất $1$ trong các số $x$,$y$,$z$ dương, không mất tính tổng quát giả sử $x>0$ thì

$\frac{4+x}{4-x^{2}}>\frac{4-x}{4-x^{2}}>0$

$\Rightarrow\sum \frac{4+x}{4-x^{2}}>\frac{4-x}{4-x^{2}}+\frac{4+y}{4-y^{2}}+\frac{4+z}{4-z^{2}}$

nên dễ thấy để $\sum \frac{4+x}{4-x^{2}}$ đạt GTNN thì các số $x$,$y$,$z$ đều không dương.

Đặt $a=-x$,$b=-y$,$c=-z$. Dễ thấy $a,b,c\in [0;\sqrt{3}]$

Khi đó, xét biểu thức                                   $P=\sum \frac{4-a}{4-a^{2}}$

$P=\sum \frac{4-a}{4-a^{2}}=\sum \frac{1}{2+a}+\sum \frac{2}{4-a^{2}}$

Áp dụng $Cauchy-Schwarz$, ta có :

$\sum \frac{1}{2+a}\geq \frac{9}{6+a+b+c}\geq\frac{9}{6+\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}=1$

$\sum \frac{2}{4-a^{2}}\geq \frac{18}{12-a^{2}-b^{2}-c^{2}}=2$

Suy ra $P\geq 3$

Vậy min$\sum \frac{4+x}{4-x^{2}}=3$ khi và chỉ khi $x=y=z=-1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 20-07-2013 - 06:03

"Nothing is impossible"

(Napoleon Bonaparte)






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: giá trị lớn nhất

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh