CHÀO CÁC ANH CHỊ!
Mấy hôm nay, em đang nghiên cứu về tài liệu của bất đẳng thức Schur của anh Võ Thành Văn ( không biết đúng tên không) upload trên diễn đàn VMF. Nhưng em có một số vấn đề không thể hiểu rõ, đặc biệt là cách chia trường hợp chọn số trong bất đẳng thức Schur một cách rất "tự nhiên":
VD như bài toán sau đây:
Cho a,b,c là các số thực không âm. Cmr:
$a^4(b+c)+ b^4(c+a) + c^4 (a+b)\leq \frac{1}{12}$
Đặt $p = a + b + c$
$q = ab + bc + ca$
$r = abc$
Chuẩn hóa p =1. ta có bất đẳng thức:
$(1-3q)q + 5qr - r \leq \frac{1}{12}$
Đến đây, sử dụng thủ thuật khi dùng bất đẳng thức Schur, đó là CHIA TRƯỜNG HỢP để giải quyết:
Nếu $q\leq \frac{1}5{}$ thì ta có: $5qr - r \leq 0 và (1-3q)q = \frac{1}{3}(1-3q)3q\leq \frac{1}{3}(\frac{1-3q+3q}{2})^2 = \frac{1}{12}$
Nếu $q > \frac{1}{5}$ ta đưa bất đẳng thức cần chứng min thành một hàm theo q: $f(q)= (1-3q)q+5qr-r$
Xét $f'(q)= 1-6q+5r$
Vì $\frac{1}{5}> q \geq 9r$ nên $f'(q)<0$ suy ra $f(q) < f (\frac{1}5{}) = \frac{2}{15} < \frac{1}{12}$
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = ..., b= ..., c=.... ( trích " BẤT ĐẰNG THỨC SCHUR VÀ PP. BIẾN ĐỔI P, Q, R")
Thiệt tình là em đọc bài này và những bài chia trường hợp của Schur theo hàm thì hoàn toàn không hiểu, thêm một vấn đề nữa là chuẩn hóa p =1 thì không biết là bài nào cũng đc hay chỉ một số trường hợp thôi!
Haizzz, em rất rối ở chỗ này, mong anh chị chỉ giáo! Em cảm ơn rất nhiều!
p/s: anh chị nào có tài liệu về mấy cái trường hợp nào thì có thể share cho em không ạ? em rất cảm ơn!
. Thực ra là thuần nhất là được rồi ạ
