Đến nội dung

Hình ảnh

$(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})+ \dfrac{3(x-y)(y-z)(z-x)}{xyz} \ge 9$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Simpson Joe Donald

Simpson Joe Donald

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
Cho x,y,z là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR:
 
$(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})+ \dfrac{3(x-y)(y-z)(z-x)}{xyz} \ge 9$

 


Câu nói bất hủ nhất của Joker  : 
Joker để dao vào mồm Gambol nói : Mày muốn biết vì sao tao có những vết sẹo trên mặt hay không ? Ông già tao là .............. 1 con sâu rượu, một con quỷ dữ. Và một đêm nọ , hắn trở nên điên loạn hơn bình thường . Mẹ tao vớ lấy con dao làm bếp để tự vệ . Hắn không thích thế ... không một chút nào . Vậy là tao chứng kiến ... cảnh hắn cầm con dao đi tới chỗ bà ấy , vừa chém xối xả vừa cười lớn . Hắn quay về phía tao và nói ... "Sao mày phải nghiêm túc?". Hắn thọc con dao vào miệng tao. "Hãy đặt nụ cười lên khuôn mặt nó nhé". Và ... "Sao mày phải nghiêm túc như vậy ?"


#2
Strygwyr

Strygwyr

    Sk8er-boi

  • Thành viên
  • 272 Bài viết


 

Cho x,y,z là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR:
 
$(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})+ \dfrac{3(x-y)(y-z)(z-x)}{xyz} \ge 9$

 

 

Có vẻ bất đẳng thức này không phù hợp với trình độ THCS đâu, cậu nên post sang bên THPT hoặc Olympiad.

 

BĐT cần chứng minh tương đương với :

$3+\sum \frac{x}{y}+\sum \frac{y}{x}+3\sum \frac{x}{y}-3\sum \frac{y}{x}\geq 9$

$\Leftrightarrow 2\sum \frac{x}{y}\geq \sum \frac{y}{x}+3$

Có thể có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức trên nhưng có lẽ cách đơn giản nhất là dùng ... $EMV$

Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh 

$2(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})\geq 3+(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z})$ 

$\Leftrightarrow 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}-\frac{y}{x}-\frac{z}{y}-\frac{x}{z})+(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}-6)\geq 0$

$\Leftrightarrow 3(x-y)(y-z)(z-x)+x(y-z)^{2}+y(z-x)^{2}+z(x-y)^{2}\geq 0$ (*)

Đặt $f(a,b$,$c$)$=VT(*)$.

Theo $EMV$ thì $f(x,y$,$z$)$\geq$ $f(x-m,y-m,z-m)$ với $m$ là một số thực dương thoả mãn $m\leq min${$x$,$y$,$z$} và ($x-m$,$y-m$,$z-m$) là $3$ cạnh của tam giác.

Không mất tính tổng quát, giả sử $x=max${$x$,$y$,$z$}, theo bất đẳng thức tam giác thì :

$y-m+z-m\geq x-m\Leftrightarrow m\leq y+z-x$

Suy ra $m\in [0;y+z-x]$

Theo $EMV$, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức trên với $x=y+z$, tức là :

$3yz(z-y)+y^{3}+z^{3}+(y+z)(y-z)^{2}\geq 0$

$\Leftrightarrow 2(y^{3}+z^{3})+2yz^{2}-4y^{2}z\geq 0$
$\Leftrightarrow 2y(y-z)^{2}+2z^{3}\geq 0$
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng, suy ra đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$
Spoiler
@hoctrocuanewton : EMV là dồn biến toàn miền đấy mà hình như cũng là cách duy nhất thì phải, thế mới bảo phải chuyển sang box THPT :)
@bossulan239 : hay cậu post thêm cách dùng S.O.S đi, để mọi người cùng tham khảo

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 19-07-2013 - 17:57

"Nothing is impossible"

(Napoleon Bonaparte)


#3
hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết

 

Có vẻ bất đẳng thức này không phù hợp với trình độ THCS đâu, cậu nên post sang bên THPT hoặc Olympiad.

 

BĐT cần chứng minh tương đương với :

$3+\sum \frac{x}{y}+\sum \frac{y}{x}+3\sum \frac{x}{y}-3\sum \frac{y}{x}\geq 9$

$\Leftrightarrow 2\sum \frac{x}{y}\geq \sum \frac{y}{x}+3$

Có thể có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức trên nhưng có lẽ cách đơn giản nhất là dùng ... $EMV$

Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh 

$2(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})\geq 3+(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z})$ 

$\Leftrightarrow 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}-\frac{y}{x}-\frac{z}{y}-\frac{x}{z})+(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}-6)\geq 0$

$\Leftrightarrow 3(x-y)(y-z)(z-x)+x(y-z)^{2}+y(z-x)^{2}+z(x-y)^{2}\geq 0$ (*)

Đặt $f(a,b$,$c$)$=VT(*)$.

Theo $EMV$ thì $f(a,b$,$c$)$\geq$ $f(a-x,b-x,c-x)$ với $x$ là một số thực dương thoả mãn $x\leq max${$a$,$b$,$c$} và ($a-x$,$b-x$,$c-x$) là $3$ cạnh của tam giác.

Không mất tính tổng quát, giả sử $a=max${$a$,$b$,$c$}, theo bất đẳng thức tam giác thì :

$b-x+c-x\geq a-x\Leftrightarrow x\leq b+c-a$

Suy ra $x\in [0;b+c-a]$

Theo $EMV$, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức trên với $a=b+c$, tức là :

$3yz(z-y)+y^{3}+z^{3}+(y+z)(y-z)^{2}\geq 0$

$\Leftrightarrow 2(y^{3}+z^{3})+2yz^{2}-4y^{2}z\geq 0$
$\Leftrightarrow 2y(y-z)^{2}+2z^{3}\geq 0$
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng, suy ra đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
Spoiler
$(k+1)(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\geq k(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})+3$
Cách làm hoàn toàn tương tự, ta chỉ cần chứng minh khi $a=b+c$
Với kết quả mở rộng trên, ta hoàn toàn có thể sáng tạo nên bài toán mới :))

 

EMV  là gì vậy cậu ? cậu có thể ghi cho tớ được không



#4
bossulan239

bossulan239

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

 

Có vẻ bất đẳng thức này không phù hợp với trình độ THCS đâu, cậu nên post sang bên THPT hoặc Olympiad.

 

 

Mình nghĩ bài này còn có thể dùng phương pháp S.O.S đươc mà


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bossulan239: 19-07-2013 - 15:56


#5
nguyencuong123

nguyencuong123

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 587 Bài viết

 

Có vẻ bất đẳng thức này không phù hợp với trình độ THCS đâu, cậu nên post sang bên THPT hoặc Olympiad.

 

BĐT cần chứng minh tương đương với :

$3+\sum \frac{x}{y}+\sum \frac{y}{x}+3\sum \frac{x}{y}-3\sum \frac{y}{x}\geq 9$

$\Leftrightarrow 2\sum \frac{x}{y}\geq \sum \frac{y}{x}+3$

Có thể có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức trên nhưng có lẽ cách đơn giản nhất là dùng ... $EMV$

Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh 

$2(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})\geq 3+(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z})$ 

$\Leftrightarrow 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}-\frac{y}{x}-\frac{z}{y}-\frac{x}{z})+(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}-6)\geq 0$

$\Leftrightarrow 3(x-y)(y-z)(z-x)+x(y-z)^{2}+y(z-x)^{2}+z(x-y)^{2}\geq 0$ (*)

Đặt $f(a,b$,$c$)$=VT(*)$.

Theo $EMV$ thì $f(a,b$,$c$)$\geq$ $f(a-x,b-x,c-x)$ với $x$ là một số thực dương thoả mãn $x\leq max${$a$,$b$,$c$} và ($a-x$,$b-x$,$c-x$) là $3$ cạnh của tam giác.

Không mất tính tổng quát, giả sử $a=max${$a$,$b$,$c$}, theo bất đẳng thức tam giác thì :

$b-x+c-x\geq a-x\Leftrightarrow x\leq b+c-a$

Suy ra $x\in [0;b+c-a]$

Theo $EMV$, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức trên với $a=b+c$, tức là :

$3yz(z-y)+y^{3}+z^{3}+(y+z)(y-z)^{2}\geq 0$

$\Leftrightarrow 2(y^{3}+z^{3})+2yz^{2}-4y^{2}z\geq 0$
$\Leftrightarrow 2y(y-z)^{2}+2z^{3}\geq 0$
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng, suy ra đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
Spoiler
@hoctrocuanewton : EMV là dồn biến toàn miền đấy mà hình như cũng là cách duy nhất thì phải, thế mới bảo phải chuyển sang box THPT :)

 

 

 

Có vẻ bất đẳng thức này không phù hợp với trình độ THCS đâu, cậu nên post sang bên THPT hoặc Olympiad.

 

BĐT cần chứng minh tương đương với :

$3+\sum \frac{x}{y}+\sum \frac{y}{x}+3\sum \frac{x}{y}-3\sum \frac{y}{x}\geq 9$

$\Leftrightarrow 2\sum \frac{x}{y}\geq \sum \frac{y}{x}+3$

Có thể có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức trên nhưng có lẽ cách đơn giản nhất là dùng ... $EMV$

Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh 

$2(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})\geq 3+(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z})$ 

$\Leftrightarrow 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}-\frac{y}{x}-\frac{z}{y}-\frac{x}{z})+(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}-6)\geq 0$

$\Leftrightarrow 3(x-y)(y-z)(z-x)+x(y-z)^{2}+y(z-x)^{2}+z(x-y)^{2}\geq 0$ (*)

Đặt $f(a,b$,$c$)$=VT(*)$.

Theo $EMV$ thì $f(a,b$,$c$)$\geq$ $f(a-x,b-x,c-x)$ với $x$ là một số thực dương thoả mãn $x\leq max${$a$,$b$,$c$} và ($a-x$,$b-x$,$c-x$) là $3$ cạnh của tam giác.

Không mất tính tổng quát, giả sử $a=max${$a$,$b$,$c$}, theo bất đẳng thức tam giác thì :

$b-x+c-x\geq a-x\Leftrightarrow x\leq b+c-a$

Suy ra $x\in [0;b+c-a]$

Theo $EMV$, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức trên với $a=b+c$, tức là :

$3yz(z-y)+y^{3}+z^{3}+(y+z)(y-z)^{2}\geq 0$

$\Leftrightarrow 2(y^{3}+z^{3})+2yz^{2}-4y^{2}z\geq 0$
$\Leftrightarrow 2y(y-z)^{2}+2z^{3}\geq 0$
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng, suy ra đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
Spoiler
@hoctrocuanewton : EMV là dồn biến toàn miền đấy mà hình như cũng là cách duy nhất thì phải, thế mới bảo phải chuyển sang box THPT :)

 

EMV (Dồn biến toàn miền không phải vậy đâu bạn ơi)


    :icon12:  :icon12:  :icon12:   Bình minh tắt nắng trời vương vấn :icon12:  :icon12:  :icon12:       

      :icon12: Một cõi chơi vơi, ta với ta  :icon12:       

:nav: My Facebook  :nav:  

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh