Chủ đề này có 7 trả lời

[Yagami Raito]

$\boxed{1}$ Tìm $m$ để GTLN của 

$$y=\dfrac{2x+m}{x^2+1}=3$$

 

$\boxed{2}$ a)Cho $a+b\geq 2$  chứng minh $a^3+b^3\leq a^4+b^4$

 

b)Cho $x+y=3$; $x\leq 1$. Chứng minh:

$$y^3-x^3-6y^2-x^2+9y\geq 0$$

 

 

[Ha Manh Huu]

bài 2 ta có $2(a^{4}+b^{4})\geq (a+b)(a^{3}+b^{3})$ mà $a+b \geq 2$ nên ta có đpcm

[canhhoang30011999]

 bai 1

max$y= \frac{2x+m}{x^{2}+1}= 3\Leftrightarrow \frac{2x+m}{x^{2}+1}\leq 3$$\Leftrightarrow 2x+m\leq 3(x^{2}+1)$$\Leftrightarrow 2x+m\leq 3(x^{2}+1)$

$3x^{2}-2x+3-m\geq 0$$\Leftrightarrow 1-3\left ( 3-m \right )\leq 0$$\Leftrightarrow m\leq \frac{8}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canhhoang30011999: 19-07-2013 - 10:14

[Simpson Joe Donald]

bài 2 ta có $2(a^{4}+b^{4})\geq (a+b)(a^{3}+b^{3})$ mà $a+b \geq 2$ nên ta có đpcm

$\boxed{Cách 2:}$

Ta có:

$(a^4+ b^4) \geq (a^3 + b^3)$  

$a^4 - a^3+ b^4 - b^3 \geq 0$ 

$a^3(a - 1) + b^3(b - 1) \geq 0$

$(a^3 - 1 + 1)(a - 1) + (b^3 - 1 + 1)(b - 1) \geq 0$

$(a^3 - 1)(a - 1) + a - 1 + (b^3 - 1)(b - 1) + b - 1 \geq 0$

$(a - 1)^2(a^2 + a + 1) + (b - 1)^2(b^2 + b + 1) + (a + b - 2) \geq 0$

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên ta có điều phải chứng minh.

 

Mod sửa dùm cái

@@:Đã fix

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 19-07-2013 - 12:02

[trauvang97]

$\boxed{2}$ a)Cho $a+b\geq 2$  chứng minh $a^3+b^3\leq a^4+b^4$

 

b)Cho $x+y=3$; $x\leq 1$. Chứng minh:

$$y^3-x^3-6y^2-x^2+9y\geq 0$$

a) Đặt $a=1+x, b=1+y$, từ giả thiết suy ra: $x+y \geq 0$.

 

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $(1+x)^{3}+(1+y)^{3}\leq (1+x)^{4}+(1+y)^{4}$

 

                                $\Leftrightarrow 0\leq x(1+x)^{3}+y(1+y)^{3}$

 

                               $\Leftrightarrow x+y+3(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+3(x^{2}+y^{2})+(x^{4}+y^{4})\geq 0$ luôn đúng do $x+y \geq 0$

 

b) Đặt $x=1-a, a\geq 0$ thì từ giả thiết suy ra: $y=2+a$. Lúc này bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

 

        $(2+a)^{3}-(1-a)^{3}-6(2+a)^{2}-(1-a)^{2}+9(2+a)\geq 0$

 

   $\Leftrightarrow a^{3}-2a^{2}+a\geq 0$

 

   $\Leftrightarrow a(a-1)^{2}\geq 0$  (đúng vì $a\geq 0$)

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=0$ hoặc $a=1$, tức là khi $x=1, y=2$ hoặc $x=0, y=3$

[duongtoi]

Câu 2b)

Ta có $x \le 1$ nên $y\ge 2$.

Ta có $y^3-x^3-6y^2-x^2+9y=y(y-3)^2-x^2(x+1)=(3-x)x^2-x^2(x+1)=2x^2(1-x)\ge 0$ với $x\le 1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongtoi: 19-07-2013 - 10:24

[Yagami Raito]

Các bạn có thể tham khảo lời giải tại đây

 

[canhhoang30011999]

bai 2b

dat x=1-a,y=2+a(a>0)

bdt tuong duong voi

$\left ( a+2 \right )^{3}-\left ( 1-a \right )^{3}-6\left ( a+2 \right )^{2}-\left ( 1-a \right )^{2}+9\left ( a+2 \right )\geq 0$

$\Leftrightarrow 2a^{3}-4a+2a\geq 0$$\Leftrightarrow 2a\left ( a^{2} -2a+1\right )\geq 0$$a\geq 0$$\left ( a-1 \right )^{2}\geq 0$$\Rightarrow dpcm$

dau bang xay ra khi a=0 hoac a=1

a=o =>x=1,y=2

a=1=>x=0,y=3