Chủ đề này có 2 trả lời

[One Dream]

Giải Pt $Sin^{2012}x+Cos^{2012}x=\frac{1}{2^{1005}}$

[duongtoi]

Đặt $\cos ^2x=t$. Suy ra, $\sin^2x=1-t$ và $1\ge t\ge 0$.

Ta có $PT\Leftrightarrow (1-t)^{1006}+t^{1006}=2^{-1005}$        (*).

Xét hàm số $f(t)=t^{1006}+(1-t)^{1006}$ với $1\ge t\ge 0$.

Ta có, $f'(t)=1006\left ( t^{1005}-(1-t)^{1005} \right )=1006(2t-1)\left (\sum_{k=0}^{1004}t^k.(1-t)^{1004-k} \right )$.

$f'(t)=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}$

Do vậy, $f(t)\ge f(\frac{1}{2})$.

Mặt khác, ta có $f(\frac{1}{2})=2^{-1005}=VP$ nên (*) có nghiệm duy nhất là $t=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \cos^2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}$ với $k\in \mathbb{Z}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongtoi: 19-07-2013 - 13:53

[Tran Hoai Nghia]

ta có bổ đề:$a^{n}+b^{n}\geq \frac{1}{2^{n-1}}$ với $a+b=1 và a,b\geq 0$, dấu bằng xảy ra khi $a=b=0.5$.

Đặt $a=\sin ^{2}x,b=\cos ^{2}x$, ta có:$a^{1006}+b^{1006}\geq \frac{1}{2^{1005}}$.Dấu bằng xảy ra khi $\sin ^{2}x=0.5\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$