Chủ đề này có 2 trả lời

[Alexman113]

Giải phương trình: $$1+\frac{2}{3}\sqrt{x-x^2}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$$

 

[chinhanh9]

Đặt ẩn phụ thôi 

ĐK: $0\leq x\leq 1$

Đặt $a=\sqrt{x}, b=\sqrt{1-x}$, đưa về hệ:

$\left\{\begin{matrix} a^{2} +b^{2}=1 (1)& \\ 3+2ab=3a+3b (2) & \end{matrix}\right.$

Từ $(2)$  được: $a=\frac{3-3b}{3-2b}$ ($b=\frac{3}{2}$ không thỏa phương trình).

Thế vào (1) rồi khai triển, rút gọn được phương trình bậc 4:

$2b^{4}-6b^{3}+9b^{2}-9b+4=0$

$\Leftrightarrow \begin{vmatrix} b=1 & \\ 2b^{3}-4b^{2}+5b-4=0 & \end{vmatrix}$

* $b=1 \Leftrightarrow x=0$

* $2b^{3}-4b^{2}+5b-4=0$: giải trên máy tính thấy pt này có  nghiệm duy nhất lớn hơn 1 nên chứng minh nó vô nghiệm với $b\leq 1$ 

Xét $f(t)=2t^{3}-4t^{2}+5t-4$ có $f'(t)=6t^{2}-8t+5> 0$ với mọi $t$. Nên $f(t)$ đồng biến trên $[0;1]$ (rõ ràng hàm đã liên tục). Trên đoạn $[0;1]$ thì $f(t)\leq -1< 0$.... rứa là được rồi 

[hungnp]

Giải phương trình: $$1+\frac{2}{3}\sqrt{x-x^2}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$$

 

ĐK: $0\leq x\leq 1$

Đặt $t=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$, ĐK: $t\geq 0$. Khi đó $\sqrt{x-x^2}=\frac{t^2-1}{2}$

PT trở thành:

$$1+\frac{1}{3}(t^2-1)=t\Leftrightarrow t^2-3t+2=0\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} t=1\\ t=2 \end{matrix}\right. $$

Với $t=1$ ta có $\sqrt{x-x^2}=0\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} x=0\\ x=1 \end{matrix}\right.$

Với $t=2$ ta có $\sqrt{x-x^2}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow -x^2+x-\frac{9}{4}=0$ (vô nghiệm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungnp: 20-08-2013 - 00:15