Chủ đề này có 3 trả lời

[holmes2013]

Tìm số nguyên dương n thoả mãn : $n!\vdots \left ( 1+2+...+n \right )$

[Juliel]

Tìm số nguyên dương n thoả mãn : $n!\vdots \left ( 1+2+...+n \right )$

Lời giải :

Gỉa thiết đã cho tương đương :

$$n!\vdots \frac{n(n+1)}{2}\Leftrightarrow 2n!\vdots n(n+1)\Leftrightarrow 2(n-1)!\vdots (n+1)$$

Dễ thấy $n = 1$ thỏa mãn và $n = 4$ không thỏa mãn

Xét $n > 1$ và $n\neq 4$.

Đặt $n+1=a\in Z^{+}$, ta cần tìm $a$ để $2(a-2)!\vdots a$   $(*)$

Nếu $a$ nguyên tố thì $a$ nguyên tố cùng nhau với mọi thừa số trong tích $(a-2)!$, $(*)$ không được thỏa mãn

Do đó $a$ phải là một hợp số, nên $a$ có thể viết được dưới dạng $a = xy$  với $x,y$ nguyên dương thỏa $$2\leq x,y\leq \left [ \frac{a}{2} \right ]$$

• Nếu $x\neq y$  

Ta xét $x,y$ trong khoảng $a-2\leq x,y<a$

 

- Xét một trong hai số $x,y$ bằng với $a - 1$, giả sử $x = a - 1$

Suy ra $a=y(a-1)\Leftrightarrow a(y-1)=y$, vô lí vì $y\geq 2,a>y\Rightarrow a(y-1)>y$

- Xét một trong hai số $x,y$ bằng với $a - 2$, giả sử $x = a - 2$ 

Suy ra $a=y(a-2)\Leftrightarrow a(y-1)=2y$, vô lí vì $y\geq 2,\frac{a}{2}\geq \left [ \frac{a}{2} \right ]\geq m\Rightarrow a(y-1)>2y$

- Xét hai số $x,y$ mà một số bằng $a - 1$, một số bằng $a - 2$ thì $a=(a-1)(a-2)$, phương trình này không cho nghiệm nguyên

 

Do đó  $x,y\leq a-2$

 

Suy ra tích $(a - 2)! = 1.2.3...(a-2)$ sẽ chứa cả $x,y$ $\Rightarrow (a-2)!\vdots a\Rightarrow 2(a-2)!\vdots a$

• Nếu $x = y$

Ta xét $2x$ trong khoảng $a-2\leq 2x<a$ (lưu ý hiển nhiên 2x < a vì $\frac{a}{2}\geq \left [ \frac{a}{2} \right ]\geq x$)

 

Nếu $2x = a = x^2$, phương trình này không cho nghiệm thỏa mãn đề bài

Nếu $2x = a - 1 = x^2 - 1$, phương trình này không cho nghiệm nguyên

Nếu $2x = a - 2 = x^2 - 2$, phương trình này cũng không cho nghiệm nguyên

 

Do đó  $x<2x<a-2$

 

Lúc này hiển nhiên trong tích $(a - 2)!$ sẽ chứa cả $x$ và $2x$

$\Rightarrow (a-2)!\vdots n\Rightarrow 2(a-2)!\vdots n$

 

 

KẾT LUẬN : Số tự nhiên $n$ cần tìm thỏa mãn đề bài là $\boxed{n=1\vee n=a-1}$, trong đó $a$ là một hợp số.

 

( Không biết đúng không, nếu sai thì thông cảm mình với nhé )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 20-07-2013 - 18:29

[bangbang1412]

không biết đúng hay sai ; nhưng mình cũng post lời giải của mình ở đây ; trước hết ta gọi tích n số tự nhiên bắt đầu từ 1 là n giai thừa và ký hiệu n! = A

Ta sẽ đi tìm một số n mà n! là bội số của $\frac{n(n+1)}{2}$ = B 

Với n = 3 thì hiển nhiên ta có điều phải chứng minh ; và bây giờ ta xét cho n > 3

a) Với n + 1 là một số nguyên tố ; ta đặt n! = k$\frac{n(n+1)}{2}$

 Rõ ràng vô lý vì n + 1 nguyên tố .

b) Với n + 1 là một hợp số ; đặt n + 1 = p.q với p ; q là 2 số nguyên dương không nhỏ hơn 2 (1)

Hiển nhiên ta có $\frac{n+1}{2}\geqslant p$

Do n > 3 nên ta có 2n > n + 3 suy ra 2n - 2 > n + 1 hay n - 1 > $\frac{n+1}{2}$ ; vậy ta chứng minh được p và q đều nhỏ hơn n - 1 

Do đó nếu n + 1 có thể viết dưới dạng (1) với p khác q nên trong tích (n-1)! phải có 2 thừa số là p và q 

Mặt khác p và q là các số tự nhiên nhỏ hơn n + 1 tức là không lớn hơn n 

Nên trong tích ( n - 1)! có chứa 2 thừa số p và q ; tức là n! là bội số của n(n+1)

Bây giờ xét trường hợp n + 1 = $p^{2}$ ; chứng minh tương tự ta cũng có A là bội số của B

Xét trường hợp này với p là một số nguyên tố ; và n + 1 > 4 nên p > 3 và n > 7

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức $p^{2}=n+1 < \frac{(n-1)^{2}}{4}$

Dễ dàng có bất đẳng thức này đúng vì n > 7 ; khi đó n - 1 > 2p

Nên tích có nhiều hơn 2p thừa số do đó có 2 thừa số chia hết cho p 

Kết hợp với n = 3 ta có các kết luận là n = 3 và n là hợp số thì A là một bội số của B 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 20-07-2013 - 20:36

[PT42]

n! $\vdots$ (1+2+ ...+ n) $\Leftrightarrow$ n!$\vdots$ $\frac{n(n+1)}{2}$ $\Leftrightarrow 2.(n-1)!$ $\vdots$ (n+1) (vì n>0)

Vì $n\geq$ 1 nên n+1 $\geq$ 2.

- Nếu n+ 1 = 2 $\Leftrightarrow$ n = 1 : thoả mãn

- Nếu n+1 là số nguyên tố lớn hơn 2 thì n +1 nguyên tố cùng nhau với 2 và nguyên tố cùng nhau với mọi số nguyên dương nhỏ hơn n-1

$\Rightarrow$ UCLN (2.(n-1)! , (n+1) )  =1 $\Rightarrow$ 2(n-1)! không chia hết cho (n+1) (không thỏa mãn)

 

- Nếu n + 1 là hợp số thì n + 1 $\geq$ 4 $\Leftrightarrow$ $n \geq 3$. Ta xét các trường hợp sau :

Trường hợp 1 : n + 1 không phải số chính phương. Khi đó tồn tại các số nguyên dương a, b với $2\leq a< b< n+1$ và a.b = n + 1

$\Rightarrow$ $b\leq \frac{n+1}{2}\leq \frac{2n-2}{2} = n-1$ vì n+1 $\leq$ 2n -2 do 3 $\leq$ n. 

$\Rightarrow$ Trong dãy số 1, 2, ..., n-1 có chứa 2 số khác nhau a và b

$\Rightarrow$ 2. (n-1)! $\vdots$ (a.b) hay 2. (n-1)! $\vdots$ (n+1) (thỏa mãn)

 

Trường hợp 2 : n + 1 =  4 thì 2. (n -1)! = 2 .2 = 4 : thỏa mãn 

Trường hợp 3 : n + 1 là số chính phương lớn hơn 4 : n + 1 = $q^{2}$ (q > 0) thì n + 1 $\geq$ 9 nên q $\geq$ 3.

Có $(q-1)^{2}\geq 2^{2} > 3$ $\Rightarrow$ 2q < $q^{2} -2$ = n - 1

$\Rightarrow$ Trong dãy số 1, 2, ..., n -1 có chứa 2 số khác nhau là q và 2q

$\Rightarrow$ 2. (n-1)! $\vdots$ (q. 2q) =  2(n+1) $\Rightarrow$ 2. (n-1)! $\vdots$ (n+1)  (thỏa mãn)

 

Vậy n = 1 hoặc n + 1 là hợp số

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 21-07-2013 - 09:09