Chủ đề này có 4 trả lời

[conan98md]

cho a,b,c là ba số thực dương thoả mãn : a+b+c = 3

 

CM rằng : $\frac{a+1}{1+b^{2}}$ + $\frac{b+1}{1+c^{2}}$ + $\frac{c+1}{1+a^{2}}$ $\geq$ 3 

 

 

 

 

[Near Ryuzaki]

Bạn xài Cauchy ngược dấu !   

[AM GM]

cho a,b,c là ba số thực dương thoả mãn : a+b+c = 3

 

CM rằng : $\frac{a+1}{1+b^{2}}$ + $\frac{b+1}{1+c^{2}}$ + $\frac{c+1}{1+a^{2}}$ $\geq$ 3 

ta có $\frac{a+1}{b^{2}+1}= a+1-\frac{(a+1)b^{2}}{b^{2}+1}\geq a+1-\frac{(a+1)b^{2}}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}$

tương tự $\Rightarrow \sum \frac{a+1}{b^{2}+1}\geq \frac{a+b+c}{2}+3-\frac{ab+bc+ca}{2}\geq 3$

[Near Ryuzaki]

Ta có :

$\frac{a+1}{1+b^{2}}= (a+1)-\frac{b^{2}(a+1)}{b^{2}+1} \geq (a+1)-\frac{b^{2}(a+1)}{2b}=(a+1)-\frac{b+ab}{2}$

Tương tự: $\frac{b+1}{c^{2}+1}\geq (b+1)-\frac{c+bc}{2}$

           và  $\frac{c+1}{b^{2}+1}\geq (c+1)-\frac{a+ca}{2}$

Cộng ba bất đẳng thức này lại , ta có :

$\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}\geq \frac{a+b+c}{2}+3-\frac{ab+bc+ca}{2}=\frac{9}{2}-\frac{ab+bc+ca}{2}\geq \frac{9}{2}-\frac{(a+b+c)^{2}}{6}=3$

[Near Ryuzaki]

ta có $\frac{a+1}{b^{2}+1}= a+1-\frac{(a+1)b^{2}}{b^{2}+1}\geq a+1-\frac{(a+1)b^{2}}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}$

tương tự $\Rightarrow \sum \frac{a+1}{b^{2}+1}\geq \frac{a+b+c}{2}+3-\frac{ab+bc+ca}{2}\geq 3$

bạn gõ Latex nhanh hơn tui !