Cho 2 đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong tại điểm K, ((O') nằm trong (O)). Điểm A nằm trên (O) sao cho 3 điểm A, O, O' không thẳng hàng. Các tiếp tuyến AD và AE của (O') cắt (O) lần lượt tại B và C (D, E là các tiếp điểm). Đường thẳng AO' cắt (O) tại F. Chứng minh rằng các đường thẳng BC, DE, FK đồng quy.
Chứng minh rằng các đường thẳng BC, DE, FK đồng quy.
#1
Đã gửi 20-07-2013 - 18:47
#2
Đã gửi 10-08-2013 - 16:29
Đây thực ra là hệ quả của một bài hình quen thuộc: Nều $I$, trung điểm của $DE$, đồng thời là giao điểm của $AF$ và $DE$ thì $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ (lưu ý rằng do vậy $FB = FI = FC$), cũng như $KI$ là phân giác $\angle BKC$.
Áp dung vào bài này:
Nếu $X$ là điểm bất kỳ nằm trên $BK$ kéo dài về phía $K$ thì dễ thấy $KF$ là phân giác $\angle XKC$, vì thế $FK\perp KI$.
Gọi $H$ là giao điểm của $KF$ và $DE$, trong tam giác vuông $HIF$ có $FK. FH = FI^{2} = FB^{2}$, vì thế $\Delta FKB\sim \Delta FBH$ và $\angle HBF = \angle BKF = 180^{\circ} – \angle BAF = 180^{\circ} - \angle FBC$, ba điểm $H, B, C$ thẳng hàng và ta có đpcm.
- perfectstrong, Zaraki và LNH thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh