Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn trong giải phương trình vô tỷ


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 N H Tu prince

N H Tu prince

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 388 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Di Linh

Đã gửi 21-07-2013 - 17:32

Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn trong giải phương trình vô tỷ

Đã có topic nói đến phương pháp này,nhưng mình muốn nói kỹ hơn về phương pháp này

 

Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn là một phương pháp hay trong giải phương trình vô tỷ, phương pháp này tạo ra một lời giải đẹp và ngắn gọn,tuy nhiên cũng gây nhiều thắc mắc khi nhìn vào lời giải, nó có thể sử dụng để giải nhiều dạng phương trình khác nhau nhưng phổ biến nhất là dạng $(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e} = px^2+qx+t$.Bài viết này sẽ giới thiệu đến các bạn phương pháp này.

 

 

Phương trình $(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e} = px^2+qx+t$ có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ, bài viết cách này đang trôi nổi ở một nơi nào đó trên diễn đàn,em xin post lại

Chúng ta có thể đặt một ẩn phụ hoặc hai ẩn phụ để giải quyết phương trình, Mục đích là đưa phương trình trở thành một phương trình bậc hai hai ẩn,có biệt thức $\Delta$ là một biểu thức chính phương

Ví dụ mở đầu:

Giải phương trình $3x^2+x+3+(8x-3)\sqrt{2x^2+1}=0$

-Lời giải: Phương trình tương đương với $(3\sqrt{2x^2+1}-x)(\sqrt{2x^2+1}+3x-1)=0$

Đến đây phương trình đã trở nên đơn giản,dễ dàng giải tiếp

 

Khi nhìn vào lời giải trên không ít người thắc mắc về cách phân tích thành nhân tử phương trình trên,một lời giải khá gọn và đẹp nhưng tại sao lại có cách phân tích trên,chúng ta sẽ đi tìm lời giải đáp.

 

Mặc dù máy tính Casio có thể tìm được nghiệm của phương trình,chúng ta có thể dựa vào nghiệm vô tỷ hoặc nghiệm phức để tìm ra nhân tử,nhưng nếu phương trình không có nghiệm vô tỷ thì sao.phương pháp này có thể áp dụng cho cả hai trường hợp

 

Bài toán trên còn có một lời giải khác:

Đặt $\sqrt{2x^2+1}=t$,phương trình trở thành:

$3t^2+(8x-3)t-3x^2+x=0$

Ta có $\Delta_t=100x^2-60x+9=(10x-3)^2$

Từ đây dễ dàng giải tiếp

 

Nhìn hai cách giải trên có gì đó liên quan đến nhau.Từ lời giải 2 dễ dàng suy ra lời giải 1

Ở cách giải thứ 2,hệ số của $t^2$ là $3$,nếu hệ số khác có làm cho $\Delta$ chính phương không,đáp án là không.Vậy những số nào có thể thỏa mãn

Chúng ta gọi hệ số đó là $m$,khi đó phương trình trở thành

$mt^2+(8x-3)t+3x^2+x+3-m(2x^2+1)=0$

Chúng ta tìm $m$ để $\Delta_t$ chính phương

$\Delta_t=(8x-3)^2-4m[3x^2+x+3-m(2x^2+1)]=(8m^2-12m+64)x^2- (4m+48 )x+4m^2-4m+9$

$\Delta_t$ chính phương khi phương trình $\Delta=0$ có nghiệm duy nhất,tức là:

$\Delta_{\Delta_t}=0\Leftrightarrow -16m(8m^3-36m^2+117m-243)=0$

Dễ dàng thấy phương trình trên có nghiệm $m=3$,từ đó suy ra cách biến đổi phương trình để có hai lời giải trên

 

Tổng quát: Phương trình $(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e}=px^2+qx+t$

Viết lại phương trình thành $px^2+qx+t-(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e}=0$

Đặt $\sqrt{cx^2+dx+e}=t$

Ta sẽ biến đổi phương trình thành $mt^2-(ax+b)t+P_{(x)}=0 (1)$

Với $P_{(x)}=x^2+qx+t-m(cx^2+dx+e)$ và $\Delta_t$ là một biểu thức chính phương,nhiệm vụ của chúng ta là phải tìm một giá trị m thoả mãn yêu cầu

Viết lại phương trình $(1)$ thành $mt^2-(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e}+(1-mc)x^2+(q-md)x+(t-e)=0$

$\Delta_t=(ax+b)^2-4m\left[(1-mc)x^2+(q-md)x+(t-e) \right]$

$=(a^2-4m+4m^2c)x^2+(2ab-4mq+4m^2d)x+(b^2-4mt+4me)=Ax^2+Bx+C$

Để $\Delta_t$ chính phương khi phương trình $\Delta=0$ có nghiệm duy nhất,tức $\Delta_{\Delta_t}=0$

Hay $B^2-4AC=0\Rightarrow (2ab-4mq+4m^2d)^2-4(a^2-4m+4m^c)(b^2-4mt+4me)=0$

Khai triển vế trái của phương trình trên ta được một phương trình có dạng $m(a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4)=0$,phương trình này luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm $m=0$

Sau khi tìm được giá trị $m$,ta dễ dàng giải quyết phương trinh $(1)$

VD: Giải phương trình $-4x^2+7+(2x-4)\sqrt{2-a^2}=0$

Đặt $\sqrt{2-a^2}=t$

Bước tiếp theo đi tìm m

$\Delta_t=(2x-4)^2-4m[-4x^2+7-m(2-x^2)]=(-4m^2+16m+4)x^2-16x+8m^2-28m+16$

$\Delta'_{\Delta_t}=64-(-4m^2+16m+4)(8m^2-28m+16)=32m^4-240m^3+480m^2-144m=m(32m^3-240m^2+480m-144)$

Giải phương trình $m(32m^3-240m^2+480m-144)=0$,ta tìm được nghiệm $m=3$

Phương trinh viết lại thành $3t^2+(2x-4)t-4x^2+7-3(2-x^2)=0$

$\Leftrightarrow 3t^2+2(x-2)t-x^2+1=0$

$\Delta'=(x-2)^2-3(1-x^2)=(2x-1)^2$

$\Rightarrow \left[\begin{matrix}
t=1-x \\
t=\frac{x+1}{3}
\end{matrix}\right.$

Vậy là bài toán được giải quyết

 

Một số phương trình

1.$(x+3)\sqrt{(4-x)(12+x)}=28 - x$

2.$2\sqrt{8-2x^2}+4x=\sqrt{9x^4-36x^2+52}$

3.$x\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=1+\sqrt{x^2-1}+x\sqrt{x-1}$

4.$\sqrt{x^3-x}=2x^2-x-2$

5.$(1-2x)\sqrt{x+\frac{1}{4}}=x^2-2x$

6.$-4x^2+21x-22=\sqrt{3x-2}$

7.$4\sqrt{x+1}-1=3x+2\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x^2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N H Tu prince: 21-07-2013 - 17:37

Link

 


#2 etucgnaohtn

etucgnaohtn

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Ngắm like tăng dần

Đã gửi 30-07-2013 - 00:44

Một số phương trình

1.$(x+3)\sqrt{(4-x)(12+x)}=28 - x$

2.$2\sqrt{8-2x^2}+4x=\sqrt{9x^4-36x^2+52}$

3.$x\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=1+\sqrt{x^2-1}+x\sqrt{x-1}$

4.$\sqrt{x^3-x}=2x^2-x-2$

5.$(1-2x)\sqrt{x+\frac{1}{4}}=x^2-2x$

6.$-4x^2+21x-22=\sqrt{3x-2}$

7.$4\sqrt{x+1}-1=3x+2\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x^2}$

 

$PT(1)\Leftrightarrow (\sqrt{-x^2-8x+48}-x-4)(x+3-\frac{\sqrt{-x^2-8x+48}+x+4}{2})=0$

$PT(2)\Rightarrow (9x^4-52x^2+100)(9x^4-36x^2+4)=0$

$PT(3)\Leftrightarrow (x-\sqrt{x-1})(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}+1)=0$

$PT(4)\Leftrightarrow (\sqrt{x^3-x}-x)(1-\frac{2(\sqrt{x^3-x}+x)}{x})=0$

$PT(5)\Leftrightarrow \frac{-1}{16}\left (4x-2+(4\sqrt{2}+4)\sqrt{x+\frac{1}{4}} \right )\left (4x-2-(4\sqrt{2}-4)\sqrt{x+\frac{1}{4}}\right )=0$

$PT(6)\Leftrightarrow \frac{1}{9}(6x-3\sqrt{3x-2}-12)(-6x-3\sqrt{3x-2}+15)=0$

$PT(7)\Leftrightarrow (\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}-2)(\sqrt{1-x}-2\sqrt{x+1})=0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 30-07-2013 - 11:43

Tác giả :

 

Lương Đức Nghĩa 

 

 


#3 cobetinhnghic96

cobetinhnghic96

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 149 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:thích làm toán , lý ,hóa .Đam mê toán học ,muốn giao lưu học hỏi cùng các bạn trong 4rum về các bài toán
    Gmail: [email protected]

Đã gửi 30-07-2013 - 12:08

Ủng hộ topic mấy bài này

Bài 8 $x^{2}+\sqrt{x+5}=5$

Bài 9 $x^{3}+1=2\sqrt[3]{2x-1}$

Bài 10 $x^{3}-3\sqrt[3]{3x+2}=2$

Bài 11 $x^{2}+\sqrt{x+2004}=2004$

Bài 12 $x=5-\left ( 5-x^{2} \right )^{2}$

Đây là những bài đơn giản thôi nhá


                            

                    


#4 laiducthang98

laiducthang98

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 31-07-2013 - 11:37

Bài 8 PTTĐ : $(x+\frac{1}{2})^2=(\sqrt{x+5}-\frac{1}{2})^2$  :icon6:  :icon6:  :icon6:



#5 LucVyVy

LucVyVy

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:TPHCM

Đã gửi 18-11-2013 - 23:34

 

Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn trong giải phương trình vô tỷ

Đã có topic nói đến phương pháp này,nhưng mình muốn nói kỹ hơn về phương pháp này

 

Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn là một phương pháp hay trong giải phương trình vô tỷ, phương pháp này tạo ra một lời giải đẹp và ngắn gọn,tuy nhiên cũng gây nhiều thắc mắc khi nhìn vào lời giải, nó có thể sử dụng để giải nhiều dạng phương trình khác nhau nhưng phổ biến nhất là dạng $(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e} = px^2+qx+t$.Bài viết này sẽ giới thiệu đến các bạn phương pháp này.

 

 

Phương trình $(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e} = px^2+qx+t$ có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ, bài viết cách này đang trôi nổi ở một nơi nào đó trên diễn đàn,em xin post lại

Chúng ta có thể đặt một ẩn phụ hoặc hai ẩn phụ để giải quyết phương trình, Mục đích là đưa phương trình trở thành một phương trình bậc hai hai ẩn,có biệt thức $\Delta$ là một biểu thức chính phương

Ví dụ mở đầu:

Giải phương trình $3x^2+x+3+(8x-3)\sqrt{2x^2+1}=0$

-Lời giải: Phương trình tương đương với $(3\sqrt{2x^2+1}-x)(\sqrt{2x^2+1}+3x-1)=0$

Đến đây phương trình đã trở nên đơn giản,dễ dàng giải tiếp

 

Khi nhìn vào lời giải trên không ít người thắc mắc về cách phân tích thành nhân tử phương trình trên,một lời giải khá gọn và đẹp nhưng tại sao lại có cách phân tích trên,chúng ta sẽ đi tìm lời giải đáp.

 

Mặc dù máy tính Casio có thể tìm được nghiệm của phương trình,chúng ta có thể dựa vào nghiệm vô tỷ hoặc nghiệm phức để tìm ra nhân tử,nhưng nếu phương trình không có nghiệm vô tỷ thì sao.phương pháp này có thể áp dụng cho cả hai trường hợp

 

Bài toán trên còn có một lời giải khác:

Đặt $\sqrt{2x^2+1}=t$,phương trình trở thành:

$3t^2+(8x-3)t-3x^2+x=0$

Ta có $\Delta_t=100x^2-60x+9=(10x-3)^2$

Từ đây dễ dàng giải tiếp

 

Nhìn hai cách giải trên có gì đó liên quan đến nhau.Từ lời giải 2 dễ dàng suy ra lời giải 1

Ở cách giải thứ 2,hệ số của $t^2$ là $3$,nếu hệ số khác có làm cho $\Delta$ chính phương không,đáp án là không.Vậy những số nào có thể thỏa mãn

Chúng ta gọi hệ số đó là $m$,khi đó phương trình trở thành

$mt^2+(8x-3)t+3x^2+x+3-m(2x^2+1)=0$

Chúng ta tìm $m$ để $\Delta_t$ chính phương

$\Delta_t=(8x-3)^2-4m[3x^2+x+3-m(2x^2+1)]=(8m^2-12m+64)x^2- (4m+48 )x+4m^2-4m+9$

$\Delta_t$ chính phương khi phương trình $\Delta=0$ có nghiệm duy nhất,tức là:

$\Delta_{\Delta_t}=0\Leftrightarrow -16m(8m^3-36m^2+117m-243)=0$

Dễ dàng thấy phương trình trên có nghiệm $m=3$,từ đó suy ra cách biến đổi phương trình để có hai lời giải trên

 

Tổng quát: Phương trình $(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e}=px^2+qx+t$

Viết lại phương trình thành $px^2+qx+t-(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e}=0$

Đặt $\sqrt{cx^2+dx+e}=t$

Ta sẽ biến đổi phương trình thành $mt^2-(ax+b)t+P_{(x)}=0 (1)$

Với $P_{(x)}=x^2+qx+t-m(cx^2+dx+e)$ và $\Delta_t$ là một biểu thức chính phương,nhiệm vụ của chúng ta là phải tìm một giá trị m thoả mãn yêu cầu

Viết lại phương trình $(1)$ thành $mt^2-(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e}+(1-mc)x^2+(q-md)x+(t-e)=0$

$\Delta_t=(ax+b)^2-4m\left[(1-mc)x^2+(q-md)x+(t-e) \right]$

$=(a^2-4m+4m^2c)x^2+(2ab-4mq+4m^2d)x+(b^2-4mt+4me)=Ax^2+Bx+C$

Để $\Delta_t$ chính phương khi phương trình $\Delta=0$ có nghiệm duy nhất,tức $\Delta_{\Delta_t}=0$

Hay $B^2-4AC=0\Rightarrow (2ab-4mq+4m^2d)^2-4(a^2-4m+4m^c)(b^2-4mt+4me)=0$

Khai triển vế trái của phương trình trên ta được một phương trình có dạng $m(a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4)=0$,phương trình này luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm $m=0$

Sau khi tìm được giá trị $m$,ta dễ dàng giải quyết phương trinh $(1)$

VD: Giải phương trình $-4x^2+7+(2x-4)\sqrt{2-a^2}=0$

Đặt $\sqrt{2-a^2}=t$

Bước tiếp theo đi tìm m

$\Delta_t=(2x-4)^2-4m[-4x^2+7-m(2-x^2)]=(-4m^2+16m+4)x^2-16x+8m^2-28m+16$

$\Delta'_{\Delta_t}=64-(-4m^2+16m+4)(8m^2-28m+16)=32m^4-240m^3+480m^2-144m=m(32m^3-240m^2+480m-144)$

Giải phương trình $m(32m^3-240m^2+480m-144)=0$,ta tìm được nghiệm $m=3$

Phương trinh viết lại thành $3t^2+(2x-4)t-4x^2+7-3(2-x^2)=0$

$\Leftrightarrow 3t^2+2(x-2)t-x^2+1=0$

$\Delta'=(x-2)^2-3(1-x^2)=(2x-1)^2$

$\Rightarrow \left[\begin{matrix}
t=1-x \\
t=\frac{x+1}{3}
\end{matrix}\right.$

Vậy là bài toán được giải quyết

 

Một số phương trình

1.$(x+3)\sqrt{(4-x)(12+x)}=28 - x$

2.$2\sqrt{8-2x^2}+4x=\sqrt{9x^4-36x^2+52}$

3.$x\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=1+\sqrt{x^2-1}+x\sqrt{x-1}$

4.$\sqrt{x^3-x}=2x^2-x-2$

5.$(1-2x)\sqrt{x+\frac{1}{4}}=x^2-2x$

6.$-4x^2+21x-22=\sqrt{3x-2}$

7.$4\sqrt{x+1}-1=3x+2\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x^2}$

 

mình thấy hình như ko biết mjnh hay bn lộn mà sao khúc đặt nhân tử chung  vế sau mình ra khác 

Chúng ta tìm m để Δt chính phương
Δt=(8x−3)2−4m[3x2+x+3−m(2x2+1)]=(8m2−12m+64)x2−(4m+48)x+4m2−12m+9 mới đúng chứ ta?? ko biết sao nữa bạn thử coi lại dùm mình nha
Với lại sao mình thấy công thức bạn cho lai khác với bài ban giải ak' cái khúc 
mt2+(8x−3)t+3x2+x+3−m(2x2+1)=0

hình như khác công thức ban đưa râ



#6 Williams Tran

Williams Tran

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Vật Lí - Đại Học Khoa Học Tự Nhiên - Đại Học Quốc Gia Hà Nội
  • Sở thích:Đọc sách , làm vật lý toán

Đã gửi 16-12-2013 - 11:00

Cho mình hỏi bài này có file download không ? 



#7 Phuong Thu Quoc

Phuong Thu Quoc

    Trung úy

  • Thành viên
  • 784 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 17-12-2013 - 20:21

Ủng hộ topic mấy bài này

Bài 8 $x^{2}+\sqrt{x+5}=5$

Bài 9 $x^{3}+1=2\sqrt[3]{2x-1}$

Bài 10 $x^{3}-3\sqrt[3]{3x+2}=2$

Bài 11 $x^{2}+\sqrt{x+2004}=2004$

Bài 12 $x=5-\left ( 5-x^{2} \right )^{2}$

Đây là những bài đơn giản thôi nhá

8/ $\left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}=\left ( \sqrt{x+5}-\frac{1}{2} \right )^{2}$

9/ Đặt $\sqrt[3]{2x-1}=y$

Đưa về hệ đối xứng $\left\{\begin{matrix} 2x-1=y^{3} & & \\ 2y-1=x^{3} & & \end{matrix}\right.$

10/ Đặt $\sqrt[3]{3x+2}=y$

Giải hệ $\left\{\begin{matrix} y^{3}=3x+2 & \\ x^{3}=3y+2 & \end{matrix}\right.$

11/ $\left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}=\left ( \sqrt{x+2004}-\frac{1}{2} \right )^{2}$

12/ Đặt $5-x^{2}=y$

Giải hệ $\left\{\begin{matrix} 5-x^{2}=y & \\ 5-y^{2}=x & \end{matrix}\right.$


Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối

 

Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.

 

 


#8 silenthonorK

silenthonorK

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Đã gửi 17-11-2014 - 17:42

Có ai giải thích kỹ giúp mình cách phân tích thành nhân tử ở cách thứ nhất được không?

 

P/S:Mình mới học lớp 8 mờ

:)))))) 



#9 etucgnaohtn

etucgnaohtn

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Ngắm like tăng dần

Đã gửi 21-05-2016 - 01:00

Ai giúp con này với

$(x^2+6x+8)\sqrt{x+2}-(x^2+6x+12)\sqrt{x+3}+(2x+2\sqrt{x+2}-4\sqrt{x+3}-4)\sqrt{(x+2)(x+3)}$

$=3x^2+12+16$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 21-05-2016 - 01:00

Tác giả :

 

Lương Đức Nghĩa 

 

 


#10 IamMathematics

IamMathematics

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy Nhơn

Đã gửi 13-07-2016 - 11:17

13680979_309900209351036_818521732686819


9048e6081ba34b7c89bf05b0807fa79f.1.gif


#11 HTkyle

HTkyle

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết

Đã gửi 30-09-2016 - 09:25

 

Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn trong giải phương trình vô tỷ

Đã có topic nói đến phương pháp này,nhưng mình muốn nói kỹ hơn về phương pháp này

 

Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn là một phương pháp hay trong giải phương trình vô tỷ, phương pháp này tạo ra một lời giải đẹp và ngắn gọn,tuy nhiên cũng gây nhiều thắc mắc khi nhìn vào lời giải, nó có thể sử dụng để giải nhiều dạng phương trình khác nhau nhưng phổ biến nhất là dạng $(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e} = px^2+qx+t$.Bài viết này sẽ giới thiệu đến các bạn phương pháp này.

 

 

Phương trình $(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e} = px^2+qx+t$ có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ, bài viết cách này đang trôi nổi ở một nơi nào đó trên diễn đàn,em xin post lại

Chúng ta có thể đặt một ẩn phụ hoặc hai ẩn phụ để giải quyết phương trình, Mục đích là đưa phương trình trở thành một phương trình bậc hai hai ẩn,có biệt thức $\Delta$ là một biểu thức chính phương

Ví dụ mở đầu:

Giải phương trình $3x^2+x+3+(8x-3)\sqrt{2x^2+1}=0$

-Lời giải: Phương trình tương đương với $(3\sqrt{2x^2+1}-x)(\sqrt{2x^2+1}+3x-1)=0$

Đến đây phương trình đã trở nên đơn giản,dễ dàng giải tiếp

 

Khi nhìn vào lời giải trên không ít người thắc mắc về cách phân tích thành nhân tử phương trình trên,một lời giải khá gọn và đẹp nhưng tại sao lại có cách phân tích trên,chúng ta sẽ đi tìm lời giải đáp.

 

Mặc dù máy tính Casio có thể tìm được nghiệm của phương trình,chúng ta có thể dựa vào nghiệm vô tỷ hoặc nghiệm phức để tìm ra nhân tử,nhưng nếu phương trình không có nghiệm vô tỷ thì sao.phương pháp này có thể áp dụng cho cả hai trường hợp

 

Bài toán trên còn có một lời giải khác:

Đặt $\sqrt{2x^2+1}=t$,phương trình trở thành:

$3t^2+(8x-3)t-3x^2+x=0$

Ta có $\Delta_t=100x^2-60x+9=(10x-3)^2$

Từ đây dễ dàng giải tiếp

 

Nhìn hai cách giải trên có gì đó liên quan đến nhau.Từ lời giải 2 dễ dàng suy ra lời giải 1

Ở cách giải thứ 2,hệ số của $t^2$ là $3$,nếu hệ số khác có làm cho $\Delta$ chính phương không,đáp án là không.Vậy những số nào có thể thỏa mãn

Chúng ta gọi hệ số đó là $m$,khi đó phương trình trở thành

$mt^2+(8x-3)t+3x^2+x+3-m(2x^2+1)=0$

Chúng ta tìm $m$ để $\Delta_t$ chính phương

$\Delta_t=(8x-3)^2-4m[3x^2+x+3-m(2x^2+1)]=(8m^2-12m+64)x^2- (4m+48 )x+4m^2-4m+9$

$\Delta_t$ chính phương khi phương trình $\Delta=0$ có nghiệm duy nhất,tức là:

$\Delta_{\Delta_t}=0\Leftrightarrow -16m(8m^3-36m^2+117m-243)=0$

Dễ dàng thấy phương trình trên có nghiệm $m=3$,từ đó suy ra cách biến đổi phương trình để có hai lời giải trên

 

Tổng quát: Phương trình $(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e}=px^2+qx+t$

Viết lại phương trình thành $px^2+qx+t-(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e}=0$

Đặt $\sqrt{cx^2+dx+e}=t$

Ta sẽ biến đổi phương trình thành $mt^2-(ax+b)t+P_{(x)}=0 (1)$

Với $P_{(x)}=x^2+qx+t-m(cx^2+dx+e)$ và $\Delta_t$ là một biểu thức chính phương,nhiệm vụ của chúng ta là phải tìm một giá trị m thoả mãn yêu cầu

Viết lại phương trình $(1)$ thành $mt^2-(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e}+(1-mc)x^2+(q-md)x+(t-e)=0$

$\Delta_t=(ax+b)^2-4m\left[(1-mc)x^2+(q-md)x+(t-e) \right]$

$=(a^2-4m+4m^2c)x^2+(2ab-4mq+4m^2d)x+(b^2-4mt+4me)=Ax^2+Bx+C$

Để $\Delta_t$ chính phương khi phương trình $\Delta=0$ có nghiệm duy nhất,tức $\Delta_{\Delta_t}=0$

Hay $B^2-4AC=0\Rightarrow (2ab-4mq+4m^2d)^2-4(a^2-4m+4m^c)(b^2-4mt+4me)=0$

Khai triển vế trái của phương trình trên ta được một phương trình có dạng $m(a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4)=0$,phương trình này luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm $m=0$

Sau khi tìm được giá trị $m$,ta dễ dàng giải quyết phương trinh $(1)$

VD: Giải phương trình $-4x^2+7+(2x-4)\sqrt{2-a^2}=0$

Đặt $\sqrt{2-a^2}=t$

Bước tiếp theo đi tìm m

$\Delta_t=(2x-4)^2-4m[-4x^2+7-m(2-x^2)]=(-4m^2+16m+4)x^2-16x+8m^2-28m+16$

$\Delta'_{\Delta_t}=64-(-4m^2+16m+4)(8m^2-28m+16)=32m^4-240m^3+480m^2-144m=m(32m^3-240m^2+480m-144)$

Giải phương trình $m(32m^3-240m^2+480m-144)=0$,ta tìm được nghiệm $m=3$

Phương trinh viết lại thành $3t^2+(2x-4)t-4x^2+7-3(2-x^2)=0$

$\Leftrightarrow 3t^2+2(x-2)t-x^2+1=0$

$\Delta'=(x-2)^2-3(1-x^2)=(2x-1)^2$

$\Rightarrow \left[\begin{matrix}
t=1-x \\
t=\frac{x+1}{3}
\end{matrix}\right.$

Vậy là bài toán được giải quyết

 

Một số phương trình

1.$(x+3)\sqrt{(4-x)(12+x)}=28 - x$

2.$2\sqrt{8-2x^2}+4x=\sqrt{9x^4-36x^2+52}$

3.$x\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=1+\sqrt{x^2-1}+x\sqrt{x-1}$

4.$\sqrt{x^3-x}=2x^2-x-2$

5.$(1-2x)\sqrt{x+\frac{1}{4}}=x^2-2x$

6.$-4x^2+21x-22=\sqrt{3x-2}$

7.$4\sqrt{x+1}-1=3x+2\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x^2}$

 

Giải phương trình

$\sqrt{5x^{2}+6x+5}=\left ( 64x^{3}+4x \right )\left (5x^{2}+6x+6 \right )$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HTkyle: 30-09-2016 - 09:26


#12 thanh_kha

thanh_kha

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Đã gửi 31-05-2017 - 15:28

Cho mình hỏi bài này ạ $x^2+x-4+(x+6)\sqrt{x+2}+0$ 



#13 revolver

revolver

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 10-07-2017 - 23:10

giúp e bài này với ạ

x2 + ( 3 - căn (x2 + 2)).x=1 + 2 căn ( x2 + 2)






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh