Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 2 Bình chọn

Cho a, b, c > 0. C/m: $\frac{a}{bc(c+a)}+\frac{b}{ac(a+b)}+\frac{c}{ab(b+c)}\geq \frac{27}{2(a+b+c)^2}$

hay khó tuyệt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 gogeta

gogeta

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định

Đã gửi 21-07-2013 - 20:55

1. Cho a, b, c > 0.

C/m: $\frac{a^2}{b^{3}}+\frac{b^2}{c^{3}}+\frac{c^2}{a^{3}}\geq \frac{9}{a+b+c}$.

 

2. Cho x, y, z > 0.

C/m: $\frac{x^{4}}{y^{2}(x+z)}+\frac{y^{4}}{z^{2}(x+y)}+\frac{z^{4}}{x^{2}(y+z)}\geq \frac{x+y+z}{2}$.

 

3. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.

C/m: $\sqrt{2}(a+b+c)\leq \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\leq \sqrt{3}(a+b+c)$.

 

4. Cho a, b, c > 0.

C/m: $\frac{a}{bc(c+a)}+\frac{b}{ac(a+b)}+\frac{c}{ab(b+c)}\geq \frac{27}{2(a+b+c)^2}$.



#2 trandaiduongbg

trandaiduongbg

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 327 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\textit{Chôn nỗi đau nơi tận cùng thế giới}$
  • Sở thích:$\textit{Nhìn thấy bạn mỉm cười...}$

Đã gửi 21-07-2013 - 21:00

3. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.

C/m: $\sqrt{2}(a+b+c)\leq \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\leq \sqrt{3}(a+b+c)$.

Ta có: $\sqrt{a^2+b^2} \geq \frac{a+b}{\sqrt{2}}$

Thiết lập các BDT tương tự cộng vào ta được:

$\sqrt{2}(a+b+c)\leq \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}$

 

Còn VP Mình nghĩ là dấu < thôi

Ta có:

a-b<c $\Rightarrow$ $(a-b)^2<c$ $\Rightarrow$ $a^2+b^2<c^2+2ab$

$\Rightarrow$ $\sqrt{a^2+b^2} < \sqrt{c^2+2ab}$

Tương tự:

$\sqrt{b^2+c^2} < \sqrt{a^2+2bc}$

$\sqrt{c^2+a^2} < \sqrt{b^2+2ca}$

Cộng vào ta đc:

$$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}$$ < $$\sqrt{c^2+2ab}+ \sqrt{a^2+2bc}+\sqrt{b^2+2ca}$$

Áp dụng BDT B.C.S ta có:

$(\sqrt{a^2+2bc}+\sqrt{b^2+2ca}+\sqrt{c^2+2ab})^2 \leq (1+1+1)(a+b+c)^2$

$\Rightarrow$ đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trandaiduongbg: 21-07-2013 - 21:18

79c224405ed849a4af82350b3f6ab358.0.gif

 

 


#3 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1566 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Recently trying to grasp Algebraic Stack

Đã gửi 21-07-2013 - 21:02

Bài 1 : Nhân cả 2 vế với a + b + c ta có bất đẳng thức tương đương .

                                      $(a+b+c)(\frac{a^{2}}{b^{3}}+\frac{b^{2}}{c^{3}}+\frac{c^{2}}{a^{3}})\geq 9$

Áp dụng bất đẳng thức cauchy-schwars cho vế trái ta được

                                    căn   VT $\geq$ $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}}$

Áp dụng AM - GM cho biểu thức trong ngoặc ta có dpcm


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#4 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1566 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Recently trying to grasp Algebraic Stack

Đã gửi 21-07-2013 - 21:04

Bài 3 với VP có thể biến đổi tương đương ; còn VT suy ra trực tiếp từ bất đẳng thức minkowski hay bất đẳng thức tam giác.


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#5 bossulan239

bossulan239

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN

Đã gửi 21-07-2013 - 21:12

Bài 3 Ta có

Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác $\Rightarrow \sum a^{2}\leq 2\sum ab$

$VT^{2}\leq 6.\sum a^{2}=3\sum a^{2}+3\sum a^{2}\leq 3\sum a^{2}+6\sum ab=3(a+b+c)^{2}$

$\Rightarrow Q.E.D$



#6 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1566 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Recently trying to grasp Algebraic Stack

Đã gửi 21-07-2013 - 21:15

Bài 4 nhân 2 vế với 2(a+b+c) rồi cauchy-schwars và AM-GM là xong .


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#7 bossulan239

bossulan239

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN

Đã gửi 21-07-2013 - 21:18

Bài 4 ta có

$VT=\sum \frac{a^{2}}{abc.(c+a)}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2abc.\sum a}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh

$\sum a^{3}\geq 27abc$

Hiển nhiên đúng theo AM-GM



#8 trandaiduongbg

trandaiduongbg

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 327 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\textit{Chôn nỗi đau nơi tận cùng thế giới}$
  • Sở thích:$\textit{Nhìn thấy bạn mỉm cười...}$

Đã gửi 21-07-2013 - 21:35

2. Cho x, y, z > 0.

C/m: $\frac{x^{4}}{y^{2}(x+z)}+\frac{y^{4}}{z^{2}(x+y)}+\frac{z^{4}}{x^{2}(y+z)}\geq \frac{x+y+z}{2}$.

Ta có:

$\sum \frac{x^4}{y^2(x+z)}+\sum \frac{x+z}{4} \geq \sum \frac{x^2}{y}$

$\Rightarrow$ $\sum \frac{x^4}{y^2(x+z)} \geq \sum \frac{x^2}{y}- \sum \frac{x+z}{4}= \sum \frac{x^2}{y}-\frac{x+y+z}{2} \geq \frac{(x+y+z)^2}{x+y+z}-\frac{x+y+z}{2}=\frac{x+y+z}{2}$ (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trandaiduongbg: 21-07-2013 - 21:39

79c224405ed849a4af82350b3f6ab358.0.gif

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hay, khó, tuyệt

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh