Chủ đề này có 6 trả lời

[nhatquangsin]

Cho $p_1<p_2<...<p_n$ là $n$ số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng $p_{1}p_{2}...p_{n}+1$ là số nguyên tố

[chrome98]

Thế này thì các nhà toán học sẽ vui lắm đây khi ta biết một số số nguyên tố cho trước thì tìm được số nguyên tố tiếp theo. Thử hỏi các máy tính chạy hàng giờ tìm các số nguyên tố để chơi vui à?

[nhatquangsin]

Cái này cũng đúng này

 

Cho $p_i(i=1,2,...,n)$ là các số nguyên tố lớn hơn $2$. Chứng minh rằng $2p_{1}p_{2}...p_{n}+1$ là số nguyên tố

[trananh2771998]

Bạn lấy đâu ra các giả thiết này vậy

[DarkBlood]

Cho $p_1<p_2<...<p_n$ là $n$ số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng $p_{1}p_{2}...p_{n}+1$ là số nguyên tố

Không chắc đúng không nữa

 

Trước tiên ta chứng minh hai số nguyên liên tiếp lớn hơn 1 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Thật vậy, gọi 2 số đó là $x$ và $x+1$ $(x>1)$

Giả sử $(x\ ;\ x+1)=d$ $(d\in \mathbb{Z}^+).$ Khi đó $x\ \vdots\ d$ và $x+1\ \vdots\ d,$ suy ra $(x+1)-x\ \vdots\ d$ hay $1\ \vdots\ d$

Do đó $d=1$ hay $x$ và $x+1$ nguyên tố cùng nhau.

 

Giả sử $p_1p_2...p_n+1$ là hợp số.

Khi đó $p_1p_2...p_n+1$ chia hết cho số nguyên tố $p.$ Mà $p_1, p_2,..., p_n$ là $n$ số nguyên tố đầu tiên nên $p\in \left \{ p_1\ ;\ p_2\ ;\ ...\ ;\ p_n \right \}$

Do đó $p_1p_2...p_n+1\ \vdots\ p_i$ $(i\in \left \{ 1\ ;\ 2\ ;\ ...\ ;\ n \right \})$

Mặt khác, ta có $p_1p_2...p_n$ và $p_1p_2...p_n+1$ là hai số nguyên liên tiếp nên $(p_1p_2...p_n\ ;\ p_1p_2...p_n+1)=1$

Suy ra $p_1p_2...p_n+1\ \not{\vdots}\ p_i$ $(i\in \left \{ 1\ ;\ 2\ ;\ ...\ ;\ n \right \})$ $($Vô lý$)$

Vậy $p_1p_2...p_n+1$ là số nguyên tố.

 

Em làm sai rồi, MOD nào thấy bài này ẩn giúp em. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 21-07-2013 - 22:29

[nhatquangsin]

Không chắc đúng không nữa

 

Trước tiên ta chứng minh hai số nguyên liên tiếp lớn hơn 1 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Thật vậy, gọi 2 số đó là $x$ và $x+1$ $(x>1)$

Giả sử $(x\ ;\ x+1)=d$ $(d\in \mathbb{Z}^+).$ Khi đó $x\ \vdots\ d$ và $x+1\ \vdots\ d,$ suy ra $(x+1)-x\ \vdots\ d$ hay $1\ \vdots\ d$

Do đó $d=1$ hay $x$ và $x+1$ nguyên tố cùng nhau.

 

Giả sử $p_1p_2...p_n+1$ là hợp số.

Khi đó $p_1p_2...p_n+1$ chia hết cho số nguyên tố $p.$ Mà $p_1, p_2,..., p_n$ là $n$ số nguyên tố đầu tiên nên $p\in \left \{ p_1\ ;\ p_2\ ;\ ...\ ;\ p_n \right \}$

Do đó $p_1p_2...p_n+1\ \vdots\ p_i$ $(i\in \left \{ 1\ ;\ 2\ ;\ ...\ ;\ n \right \})$

Mặt khác, ta có $p_1p_2...p_n$ và $p_1p_2...p_n+1$ là hai số nguyên liên tiếp nên $(p_1p_2...p_n\ ;\ p_1p_2...p_n+1)=1$

Suy ra $p_1p_2...p_n+1\ \not{\vdots}\ p_i$ $(i\in \left \{ 1\ ;\ 2\ ;\ ...\ ;\ n \right \})$ $($Vô lý$)$

Vậy $p_1p_2...p_n+1$ là số nguyên tố.

vậy nếu $p$ là số nguyên tố thứ $n+1$ thì sao bạn?

[LNH]

Cho $p_1<p_2<...<p_n$ là $n$ số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng $p_{1}p_{2}...p_{n}+1$ là số nguyên tố

Giả thuyết sai rồi Quang. Nếu ta lấy $2*3*5*7*11*13+1$ thì số này chia hết cho 59, hợp số