Với $A,B,C \in M_{2}(\mathbb{R})$ thỏa $AB=BA$, $BC=CB$, $AC=CA$. thì
$$\det (A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA) \geq 0$$
Chứng minh hay chỉ ra chổ sai của mệnh đề trên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 22-07-2013 - 10:14
Với $A,B,C \in M_{2}(\mathbb{R})$ thỏa $AB=BA$, $BC=CB$, $AC=CA$. thì
$$\det (A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA) \geq 0$$
Chứng minh hay chỉ ra chổ sai của mệnh đề trên.
Liên hệ với bất đẳng thức số thực thì đúng nên dự đoán nó đúng vậy . Tổng quát với 3 ma trận cấp $n$ bất kỳ chứ không riêng cấp 2.
Ta có $$A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA=\frac{1}{2}\left[ (A-B)^2+(B-C)^2+(C-A)^2 \right] $$. Đặt $X=A-B \;, Y=B-C \; \Rightarrow C-A=-X-Y $
Do $A,B,C$ giao hoán đôi một nên cũng có $X$ và $Y$ giao hoán.
Vậy $$\det (A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA)=\det (X^2+Y^2+XY)$$
Do đa thức đặc trưng của $X$ chỉ có hữu hạn nghiệm nên có vô số $t \in \mathbb{R}$ sao cho $X+tI$ khả nghịch. Thay $X$ bởi $X+tI$ ta chứng minh
$$\det((X+tI)^2+Y^2+(X+tI)Y) \ge 0$$ với mọi t sao cho $X+tI$ khả nghịch.
Do $X$ và $Y$ giao hoán nên $Y=Y(X+tI)(X+tI)^{-1}=(X+tI)Y(X+tI)^{-1} \Leftrightarrow (X+tI)^{-1}Y=Y(X+tI)^{-1}$
Suy ra $[(X+tI)^{-1}]^2Y^2=[(X+tI)^{-1}Y]^2 $
$$\det((X+tI)^2+Y^2+(X+tI)Y) $$
$$= (\det(X+tI))^2 \det\left(I+[(X+tI)^{-1}]^2Y^2+(X+tI)^{-1}Y\right)$$
$$=(\det(X+tI))^2 \det\left(I+[(X+tI)^{-1}Y]^2+(X+tI)^{-1}Y\right)$$
Đặt $U=(X+tI)^{-1}Y $
$$\det(U^2+U+I)=\det\left( (U+\frac{1}{2}I)^2-\frac{3i^2}{4}I \right)$$
$$=\left|\det\left( U+\frac{1}{2}I+\dfrac{\sqrt{3}}{2}iI \right) \right|^2 \ge 0$$
Vậy $$\det((X+tI)^2+Y^2+(X+tI)Y) \ge 0$$
$$\Rightarrow \lim_{t \to 0} \det((X+tI)^2+Y^2+(X+tI)Y) \ge 0$$
$$\Leftrightarrow \det(X^2+Y^2+XY) \ge 0$$
Vậy ta có đpcm.
Mình xin bổ sung thêm một chứng minh ngắn sử dụng các kiến thức về ma trận + số phức
Cho A,B,C đôi một giao hoán nên ở đây các tính toán trên ma trận tương tự như các tính toán đại số thông thường .
Ta lưu ý đến đẳng thức sau: $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=(a+\varepsilon b+\varepsilon ^{2}c)(a+\varepsilon ^{2}b+\varepsilon c),\varepsilon =e^{\frac{2\pi i}{3}}$.
Thay a, b,c bằng các ma trận A,B,C $\in M_{2}(\mathbb{R})$ta được
$det(A^{2}+B^{2}+C^{2}-AB-BC-CA)=det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)det(A+\varepsilon ^{2}B+\varepsilon C)$
$=det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)det(\overline{A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C})=det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)\overline{det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)}$
$=\left | det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C) \right |^{2}\geqslant 0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sinh vien: 19-06-2015 - 17:34
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh