Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Với $A,B,C \in M_{2}(\mathbb{R})$ thỏa $AB=BA$, $BC=CB$, $AC=CA$. thì $det (A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA) \geq 0$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM

Đã gửi 22-07-2013 - 09:22

Với $A,B,C \in M_{2}(\mathbb{R})$ thỏa $AB=BA$, $BC=CB$, $AC=CA$. thì

$$\det (A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA) \geq 0$$

Chứng minh hay chỉ ra chổ sai của mệnh đề trên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 22-07-2013 - 10:14

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#2 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 22-07-2013 - 10:53

Với $A,B,C \in M_{2}(\mathbb{R})$ thỏa $AB=BA$, $BC=CB$, $AC=CA$. thì

$$\det (A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA) \geq 0$$

Chứng minh hay chỉ ra chổ sai của mệnh đề trên.

 

Liên hệ với bất đẳng thức số thực thì đúng nên dự đoán nó đúng vậy :D . Tổng quát với 3 ma trận cấp $n$ bất kỳ chứ không riêng cấp 2.

Ta có $$A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA=\frac{1}{2}\left[ (A-B)^2+(B-C)^2+(C-A)^2 \right] $$. Đặt $X=A-B \;, Y=B-C \; \Rightarrow C-A=-X-Y $

 

Do $A,B,C$ giao hoán đôi một nên cũng có $X$ và $Y$ giao hoán.

 

Vậy $$\det (A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA)=\det (X^2+Y^2+XY)$$

 

Do đa thức đặc trưng của $X$ chỉ có hữu hạn nghiệm nên có vô số $t \in \mathbb{R}$ sao cho $X+tI$ khả nghịch. Thay $X$ bởi $X+tI$ ta chứng minh

 

$$\det((X+tI)^2+Y^2+(X+tI)Y) \ge 0$$ với mọi t sao cho $X+tI$ khả nghịch.

 

Do $X$ và $Y$ giao hoán nên $Y=Y(X+tI)(X+tI)^{-1}=(X+tI)Y(X+tI)^{-1} \Leftrightarrow (X+tI)^{-1}Y=Y(X+tI)^{-1}$

 

Suy ra $[(X+tI)^{-1}]^2Y^2=[(X+tI)^{-1}Y]^2 $

 

$$\det((X+tI)^2+Y^2+(X+tI)Y) $$

$$= (\det(X+tI))^2 \det\left(I+[(X+tI)^{-1}]^2Y^2+(X+tI)^{-1}Y\right)$$

 

$$=(\det(X+tI))^2 \det\left(I+[(X+tI)^{-1}Y]^2+(X+tI)^{-1}Y\right)$$

 

Đặt $U=(X+tI)^{-1}Y $

 

$$\det(U^2+U+I)=\det\left( (U+\frac{1}{2}I)^2-\frac{3i^2}{4}I \right)$$

$$=\left|\det\left( U+\frac{1}{2}I+\dfrac{\sqrt{3}}{2}iI \right) \right|^2 \ge 0$$

 

Vậy $$\det((X+tI)^2+Y^2+(X+tI)Y) \ge 0$$

 

$$\Rightarrow \lim_{t \to 0} \det((X+tI)^2+Y^2+(X+tI)Y) \ge 0$$

$$\Leftrightarrow \det(X^2+Y^2+XY) \ge 0$$

 

Vậy ta có đpcm.


Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#3 sinh vien

sinh vien

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 261 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bạc Liêu, ĐH Cần Thơ
  • Sở thích:toán học

Đã gửi 19-06-2015 - 09:57

Mình xin bổ sung thêm một chứng minh ngắn sử dụng các kiến thức về ma trận + số phức

  Cho A,B,C đôi một giao hoán nên ở đây các tính toán trên ma trận tương tự như các tính toán đại số thông thường .

  Ta lưu ý đến đẳng thức sau: $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=(a+\varepsilon b+\varepsilon ^{2}c)(a+\varepsilon ^{2}b+\varepsilon c),\varepsilon =e^{\frac{2\pi i}{3}}$.

  Thay a, b,c bằng các ma trận A,B,C $\in M_{2}(\mathbb{R})$ta được

$det(A^{2}+B^{2}+C^{2}-AB-BC-CA)=det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)det(A+\varepsilon ^{2}B+\varepsilon C)$

        $=det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)det(\overline{A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C})=det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)\overline{det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)}$

 $=\left | det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C) \right |^{2}\geqslant 0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sinh vien: 19-06-2015 - 17:34





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh