Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * - 2 Bình chọn

Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^2-2x-11=y^2$

hay khó tuyệt dành cho pro không hề dễ xơi

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 gogeta

gogeta

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định

Đã gửi 23-07-2013 - 12:27

1. Tìm x, y, z nguyên dương sao cho:

 $x^2+y^2=z^2$ và $xy=2(x+y+z)$.

2. Tìm nghiệm nguyên phương trình:

$x^{3}+y^{3}=xy+8$.

3. Giải phương trình nghiệm nguyên:

a) $x^{2}+2y^{2}+3xy-x-y+3=0$

b) $x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2$.

4. Giải phương trình nghiệm nguyên:

$x^2-2x-11=y^2$.

5. Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:

a) $11x+18y=120$

b) $5x-3y=2xy-11$

 



#2 badboykmhd123456

badboykmhd123456

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 296 Bài viết

Đã gửi 23-07-2013 - 14:07

1. Tìm x, y, z nguyên dương sao cho:

 $x^2+y^2=z^2$ và $xy=2(x+y+z)$.

2. Tìm nghiệm nguyên phương trình:

$x^{3}+y^{3}=xy+8$.

3. Giải phương trình nghiệm nguyên:

a) $x^{2}+2y^{2}+3xy-x-y+3=0$

b) $x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2$.

4. Giải phương trình nghiệm nguyên:

$x^2-2x-11=y^2$.

5. Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:

a) $11x+18y=120$

b) $5x-3y=2xy-11$

bài 1

$x^2+y^2=z^2\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy=z^2+4(x+y+z)(1)$

$\Leftrightarrow (x+y)^2-4(x+y)+4=z^2+4z+4\Leftrightarrow (x+y-2)^2=(z+2)^2$

Do $x,y,z$ nguyên dương nên $x+y-2=z+2\Leftrightarrow x+y=z+4$

tới đây thay $x+y=z+4$ vào $(1)$ đk pt bậc 2 giải chỉ lấy nghiệm nguyên dương

tìm đk $z$ là dễ dàng tìm đk $x,y$

bài 2

pt $\Leftrightarrow (x+y)^3=xy+3xy(x+y)+8\Leftrightarrow 27(x+y)^3+1=27xy(3x+3y+1)+217$

$\Leftrightarrow (3x+3y+1)[(3x+3y)^2-(3x+3y)+1]-27(3x+3y+1)=217\Leftrightarrow (3x+3y+1)[(3x+3y)^2-(3x+3y)-26]=217=1.217=7.31=...$

đến đây thay vào và giải hệ

bài 3

a) dùng $\Delta$ của pt bậc 2

b)$\Leftrightarrow (x^2+3x)(x^2+3x+2)=y^2$

đặt $x^2+3x+1=t$( $t$ nguyên)

$\Rightarrow t^2-1=y^2\Leftrightarrow (t-y)(t+y)=1$

đến đây giải pt ước tìm $t,y$ rồi thay vào tìm $x$

bài 4

$\Leftrightarrow (x-1)^2-y^2=12\Leftrightarrow (x-1-y)(x-1+y)=12=1.12=2.6=3.4=....$

đến đây giải lần lượt



#3 duongtoi

duongtoi

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 747 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 23-07-2013 - 14:13

Bài 4: Ta có $x^2-2x-11=y^2\Leftrightarrow (x-1)^2-y^2=12\Leftrightarrow (|x-1|-|y|)(|x-1|+|y|)=12=1.2.2.3$.

Suy ra, $|x-1|-|y|\le |x-1|+|y|$ nên có các TH sau xảy ra

TH1: $|x-1|-|y|=1;|x-1|+|y|=12$. Ta được, $|x-1|=\frac{13}{2}\notin\mathbb{Z}$ nên loại

TH2: $|x-1|-|y|=2;|x-1|+|y|=6$. Ta được, $|x-1|=4;|y|=2\in\mathbb{Z}$ (TM). Từ đó ta được $$x=5;x=-3;y=-2;y=2$.

TH3: $|x-1|-|y|=3;|x-1|+|y|=4$. Ta được, $|x-1|=\frac{7}{2}\notin\mathbb{Z}$ nên loại

 

Vậy PT có nghiệm nguyên $(x;y)$ là $\{(-3;-2);(-3;2);(5;-2);(5;2)\}$.



#4 duongtoi

duongtoi

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 747 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 23-07-2013 - 14:27

Bài 5: mình nghĩ là tìm nghiệm nguyên dương thì có hữu hạn nghiệm, Nếu tìm nghiệm nguyên không thì sẽ có vô số nghiệm.



#5 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-07-2013 - 14:28

5/ a/ Dễ dàng tìm thấy nghiệm đặc biệt là x=6; y=3 nên ta có : 

       11.6+18.3=120 và 11x+18y=120

      $\Rightarrow 11(x-6)+18(y-3)=0$

      $\Rightarrow 11(x-6)=18(3-y)$

      $\left\{\begin{matrix} x=18t+6 ;&y=3-11t & \end{matrix}\right.$ ($t\epsilon \mathbb{Z}$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 23-07-2013 - 14:29


#6 badboykmhd123456

badboykmhd123456

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 296 Bài viết

Đã gửi 23-07-2013 - 14:41

Bài 4: Ta có $x^2-2x-11=y^2\Leftrightarrow (x-1)^2-y^2=12\Leftrightarrow (|x-1|-|y|)(|x-1|+|y|)=12=1.2.2.3$.

Suy ra, $|x-1|-|y|\le |x-1|+|y|$ nên có các TH sau xảy ra

TH1: $|x-1|-|y|=1;|x-1|+|y|=12$. Ta được, $|x-1|=\frac{13}{2}\notin\mathbb{Z}$ nên loại

TH2: $|x-1|-|y|=2;|x-1|+|y|=6$. Ta được, $|x-1|=4;|y|=2\in\mathbb{Z}$ (TM). Từ đó ta được $$x=5;x=-3;y=-2;y=2$.

TH3: $|x-1|-|y|=3;|x-1|+|y|=4$. Ta được, $|x-1|=\frac{7}{2}\notin\mathbb{Z}$ nên loại

 

Vậy PT có nghiệm nguyên $(x;y)$ là $\{(-3;-2);(-3;2);(5;-2);(5;2)\}$.

cái trị tuyệt đối để làm j



#7 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-07-2013 - 14:48

Bài 5: mình nghĩ là tìm nghiệm nguyên dương thì có hữu hạn nghiệm, Nếu tìm nghiệm nguyên không thì sẽ có vô số nghiệm.

3 b/ Ta có : $x(x+3)(x+1)(x+2)=y^2$

                 $\Rightarrow (x^2+3x)(x^2+3x+2)=y^2$

 Đặt t=$x^2+3x$

$\Rightarrow t(t+2)=y^2$

$\Rightarrow (t+1)^{2}-y^{2}=1$

$\Rightarrow (t+1-y)(t+1+y)=1$

XÉT TH1: $t+1-y=1$ và $t+1+y=1$

nên $y=-y$ $\Leftrightarrow y=0$

$\Rightarrow x^2+3x+1=0$

XÉT TH2: $t+1-y=t+1+y=-1$

$\Leftrightarrow y=0$

$\Rightarrow x^2+3x+2=0$

$\Rightarrow x=-1$ hoặc $x=-2$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $y=0;x=-2$ hoặc $y=0;x=-1$



#8 duongtoi

duongtoi

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 747 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 23-07-2013 - 14:56

cái trị tuyệt đối để làm j

Vì mình không muốn chia nhỏ TH ra để xét. Chú ý là đề bài yêu cầu là tìm nghiệm nguyên chứ không phải nguyên dương nên chưa chắc $x-y-1<x+y-1$ nhé.

Nếu không có dấu trị tuyệt đối thì số TH sẽ gấp đôi.



#9 letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\sqrt{MF}$
  • Sở thích:$Maths$

Đã gửi 23-07-2013 - 15:14

$5b$ :

$gt=>10x-6y-4xy+22=0=>2x(5-2y)+15-6y=-7=>(2x+3)(2y-5)=7$

Tới đây thì dễ rồi ta chỉ cần xét các trường hợp rồi suy ra được $x;y$


        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hay, khó, tuyệt, dành cho pro, không hề dễ xơi

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh