1. Tìm x, y, z nguyên dương sao cho:
$x^2+y^2=z^2$ và $xy=2(x+y+z)$.
2. Tìm nghiệm nguyên phương trình:
$x^{3}+y^{3}=xy+8$.
3. Giải phương trình nghiệm nguyên:
a) $x^{2}+2y^{2}+3xy-x-y+3=0$
b) $x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2$.
4. Giải phương trình nghiệm nguyên:
$x^2-2x-11=y^2$.
5. Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:
a) $11x+18y=120$
b) $5x-3y=2xy-11$
bài 1
$x^2+y^2=z^2\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy=z^2+4(x+y+z)(1)$
$\Leftrightarrow (x+y)^2-4(x+y)+4=z^2+4z+4\Leftrightarrow (x+y-2)^2=(z+2)^2$
Do $x,y,z$ nguyên dương nên $x+y-2=z+2\Leftrightarrow x+y=z+4$
tới đây thay $x+y=z+4$ vào $(1)$ đk pt bậc 2 giải chỉ lấy nghiệm nguyên dương
tìm đk $z$ là dễ dàng tìm đk $x,y$
bài 2
pt $\Leftrightarrow (x+y)^3=xy+3xy(x+y)+8\Leftrightarrow 27(x+y)^3+1=27xy(3x+3y+1)+217$
$\Leftrightarrow (3x+3y+1)[(3x+3y)^2-(3x+3y)+1]-27(3x+3y+1)=217\Leftrightarrow (3x+3y+1)[(3x+3y)^2-(3x+3y)-26]=217=1.217=7.31=...$
đến đây thay vào và giải hệ
bài 3
a) dùng $\Delta$ của pt bậc 2
b)$\Leftrightarrow (x^2+3x)(x^2+3x+2)=y^2$
đặt $x^2+3x+1=t$( $t$ nguyên)
$\Rightarrow t^2-1=y^2\Leftrightarrow (t-y)(t+y)=1$
đến đây giải pt ước tìm $t,y$ rồi thay vào tìm $x$
bài 4
$\Leftrightarrow (x-1)^2-y^2=12\Leftrightarrow (x-1-y)(x-1+y)=12=1.12=2.6=3.4=....$
đến đây giải lần lượt