CMR : $\frac{-1}{8} \leq \frac{a + b}{(3 + a^{2})(3 + b^{2})} \leq \frac{1}{8}$
#61
Đã gửi 30-08-2015 - 22:02
#62
Đã gửi 05-09-2015 - 09:35
Cho $x, y > 0$. CMR :
$\frac{\left ( x + y + 1 \right )^{2}}{xy + y + x} + \frac{xy + y + x}{\left ( x + y + 1 \right )^{2}} \geq \frac{10}{3}$
Đặt $\frac{(x + y + 1)^{2}}{xy + y + x} = a; a > 0 \Rightarrow A = a + \frac{1}{a}$
Ta có: $(x + y + 1)^{2} \geq 3(xy + y + x) \Leftrightarrow \frac{(x + y + 1)^{2}}{xy + y + x} \geq 3 \Rightarrow a \geq 3$
Ta lại có: $A = a + \frac{1}{a} = \frac{8a}{9} + (\frac{a}{9} + \frac{1}{a}) \geq \frac{8}{9}.3 + 2.\sqrt{\frac{a}{9}.\frac{1}{a}} = \frac{10}{3} \Rightarrow A \geq \frac{10}{3} (dpcm).$
- thanhan2000, 30 minutes, an1907 và 6 người khác yêu thích
#63
Đã gửi 25-09-2015 - 12:48
Ai giải gấp giúp em:
Với mọi số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:
$\frac{8(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{3(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}\geq 48$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cminhnk: 25-09-2015 - 12:50
#64
Đã gửi 31-10-2015 - 19:55
Bài này làm sao có thể tìm được dấu = để dùng cauchy ạ? Các bác nói em cách tìm dấu = với
Bài 9:
Cho các số thực dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{2}{a+ \sqrt{ab}+ \sqrt[3]{abc}}-\frac{3}{\sqrt{a+b+c}}$
Giải: $a + \sqrt{\frac{a}{2}.2b} + \sqrt[3]{\frac{a}{4}.b.4c} \leq a + \frac{a}{4} + b + \frac{a}{12} + \frac{b}{3} + \frac{4c}{3} = \frac{4}{3}(a+b+c) => P \geq \frac{3}{2(a+b+c)} - \frac{3}{\sqrt{a+b+c}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyson2k: 31-10-2015 - 20:09
- thuylinhnguyenthptthanhha yêu thích
#65
Đã gửi 06-12-2015 - 08:19
Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.Tìm minP biết $P=\frac{1}{a^{3}+2}+\frac{1}{b^{3}+2}+\frac{1}{c^{3}+2}$
If you dream without acting, you''be the loser.
#66
Đã gửi 10-12-2015 - 18:08
Cho x,y,z là 3 số dương thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2012. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenPhuongQuynh: 10-12-2015 - 18:09
- Element hero Neos yêu thích
#67
Đã gửi 24-12-2015 - 15:58
Cho x,y,z là 3 số dương thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2012. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}$
$P^{2}\geq 3\sum x^{2}= 6036\Rightarrow P\geq \sqrt{6036}$
#68
Đã gửi 24-12-2015 - 16:16
Cho $a, b, c > 0$ thoả mãn : $a + b + c = 3$. CMR :
$a^{2} + b^{2} + c^{2} + \frac{ab + bc + ca}{a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a} \geq 4$
$\left ( \sum a^{2} \right )\left ( \sum a\right )\geq 3\sum a^{2}b$$\Rightarrow \sum a^{2}\geq \sum a^{2}b$
$\Rightarrow \frac{\sum ab}{\sum a^{2}b}$$\geq \frac{\sum ab}{\sum a^{2}}$
Mà $\left ( \sum a \right )^{2}=\sum a^{2}+2\sum ab$
Đặt: $\sum a^{2}=t$
BĐT$\Leftrightarrow t+\frac{9-t}{2t}=\frac{t}{2}+(\frac{t}{2}+\frac{9}{2t})-\frac{1}{2}$
$\geq \frac{3}{2}+3-\frac{1}{2}=4$ (AM-GM)
$\Rightarrow$đpcm
Dấu '=' xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 24-12-2015 - 16:19
#69
Đã gửi 24-12-2015 - 16:28
Cho $x, y, z > 0$ và $x + y + z = 3$. CMR :
$\frac{x}{x + \sqrt{3x + yz}} + \frac{y}{y + \sqrt{3y + zx}} + \frac{z}{z + \sqrt{3z + xy}} \leq 1$
$\sqrt{3x+yz}=\sqrt{\left ( x+y+z \right )x+yz}=\sqrt{(x+y)(z+x)}$
Áp dung bđt Cauchy-Schwarz:
$\sqrt{(x+y)(z+x)}\geq \sqrt{(\sqrt{xy}+\sqrt{xz})^{2}}=\sqrt{xy}+\sqrt{xz}$
$\Rightarrow \frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\leq \frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}= \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$
tt...
$\Rightarrow A\leq \frac{\sum \sqrt{x}}{\sum \sqrt{x}}=1$
(đpcm)
Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 24-12-2015 - 16:40
#70
Đã gửi 02-01-2016 - 23:35
Bài 2:
Với a,b,c >0; n ∈ N*.CMR:
$\frac{a^{n}}{b+c}+\frac{b^{n}}{a+c}+\frac{c^{n}}{a+b}\geq \frac{3}{2}\left ( \frac{a^{n}+b^{n}+c^{n}}{a+b+c} \right )$
Lời giải:
$\sum \frac{a^{n}}{b+c}\geq \frac{1}{3}(\sum a^{n})(\sum \frac{1}{a+b})\geq \frac{1}{3}(\sum a^{n})(\frac{9}{2(a+b+c)})=\frac{3}{2}(\frac{\sum a^{n}}{\sum a})$
Ai giai thich dc khong
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Fr13nd: 02-01-2016 - 23:36
LENG KENG...
#71
Đã gửi 03-01-2016 - 15:28
Giúp mình bài này:
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :
$\dfrac{b\sqrt{c}}{a\left (\sqrt{3c}+\sqrt{ab}\right )}+\dfrac{c\sqrt{a}}{b\left (\sqrt{3a}+\sqrt{bc}\right )}+\dfrac{a\sqrt{b}}{c\left (\sqrt{3b}+\sqrt{ca}\right )}\ge \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
#72
Đã gửi 03-01-2016 - 16:40
Ai giải gấp giúp em:
Với mọi số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:
$\frac{8(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{3(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}\geq 48$
Để ý rằng: $\frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \frac{24abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ Thay vào Cô si.
Bài 2:
Với a,b,c >0; n ∈ N*.CMR:
$\frac{a^{n}}{b+c}+\frac{b^{n}}{a+c}+\frac{c^{n}}{a+b}\geq \frac{3}{2}\left ( \frac{a^{n}+b^{n}+c^{n}}{a+b+c} \right )$
Lời giải:
$\sum \frac{a^{n}}{b+c}\geq \frac{1}{3}(\sum a^{n})(\sum \frac{1}{a+b})\geq \frac{1}{3}(\sum a^{n})(\frac{9}{2(a+b+c)})=\frac{3}{2}(\frac{\sum a^{n}}{\sum a})$
Ai giai thich dc khong
Tham khảo bất đẳng thức Chebyshev, bài trên áp dụng thẳng bđt này.
Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.Tìm minP biết $P=\frac{1}{a^{3}+2}+\frac{1}{b^{3}+2}+\frac{1}{c^{3}+2}$
Dùng phương pháp Cô si ngược:
Ta có:
$\frac{1}{2}-\frac{1}{a^{3}+2}\doteq \frac{a^{3}}{2(a^{3}+1+1)}\leq \frac{a^{3}}{2.3\sqrt[3]{a^{3}.1.1}}\doteq \frac{a^{2}}{6}$
Tương tự...
$\Rightarrow \frac{3}{2} -\sum \frac{1}{a^{3}+2}\leq \frac{\sum a^{2}}{6}\doteq \frac{1}{2}\Rightarrow \sum \frac{1}{a^{3}+2}\geq 1$
$\Rightarrow Min\doteq 1$
- Fr13nd, thuylinhnguyenthptthanhha và DUONG LUONG thích
#73
Đã gửi 13-01-2016 - 19:57
#74
Đã gửi 17-01-2016 - 21:17
$\sum x^2=\sum xy+2\Leftrightarrow \frac{3}{2}(\sum x^2)\geq \frac{1}{2}(x+y+z)^2+2\geq 2(x+y+z)$
$\Rightarrow 3x(\sum x^2)\geq 4x(x+y+z)\Leftrightarrow \frac{3x(\sum x^2)}{(x+y+z)^2}\geq \frac{4x}{x+y+z}$
lại có: $\frac{8(y^2+z^2)}{2(y^2+z^2)+x(y+z)}= 4-\frac{4x(y+z)}{2(y^2+z^2)+x(y+z)}\geq 4-\frac{4x(y+z)}{(y+z)^2+x(y+z)}=\frac{4(y+z)}{x+y+z}$
suy ra $P\geq \frac{4x}{x+y+z}+\frac{4(y+z)}{x+y+z}=4$
tiến tới thành công
#75
Đã gửi 21-01-2016 - 16:56
Đã thật, cái này là THPT hết à??
"Đừng thấy cái bóng to của mình trên vách tường mà tưởng mình vĩ đại."
* Pythagoras*
Một lần ngã là một lần bớt dại
Ai nên khôn mà chả dại đôi lần
#76
Đã gửi 21-01-2016 - 22:44
Cho x, y, z $> 0$ thỏa mãn : $3xy + yz + 2 zx = 6$
Tìm GTNN của biểu thức:
P= $\frac{1}{1+x^{2}} + \frac{4}{4+y^{2}} + \frac{9}{9+z^{2}}$
#77
Đã gửi 27-01-2016 - 16:48
Cho x,y,z là 3 số dương thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2012. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}$
Xét $P^2$ rồi dùng BĐT cơ bản $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)$
- NguyenPhuongQuynh yêu thích
#78
Đã gửi 28-01-2016 - 20:07
Mấy dấu gạch cuối cùng là gì vậy?
TOÁN HỌC LÀ LINH HỒN CỦA CUỘC SỐNG
*Toán học thuần túy, theo cách riêng của nó, là thi ca của tư duy logic*
#79
Đã gửi 31-01-2016 - 10:12
Cho x, y, z $> 0$ thỏa mãn : $3xy + yz + 2 zx = 6$
Tìm GTNN của biểu thức:
P= $\frac{1}{1+x^{2}} + \frac{4}{4+y^{2}} + \frac{9}{9+z^{2}}$
P=$\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}+1}+\frac{\frac{4}{y^2}}{\frac{4}{y^2}+1}+\frac{\frac{9}{z^2}}{\frac{9}{z^2}+1}$
Đặt $\frac{1}{x}=a,\frac{2}{y}=b,\frac{3}{z}=c=>\left\{\begin{matrix} a+b+c=abc & \\ P=\sum \frac{a^2}{a^2+1} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+3}=\frac{(abc)^2}{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)+3}\geq \frac{(abc)^2}{(abc)^2-6\sqrt[3]{(abc)^2}+3} \end{matrix}\right.$
Đến đây xét hàm abc.
- tpdtthltvp yêu thích
Làm việc sẽ giúp ta quên đi mọi nỗi buồn trong cuộc sống
Like Like Like
Hình học phẳng trong đề thi thử THPT Quốc Gia
Ôn thi THPT Quốc Gia môn vật lý
Hình học phẳng ôn thi THPT Quốc Gia
Vũ Hoàng 99 -FCA-
#80
Đã gửi 17-02-2016 - 21:36
Cho x,y,z
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh