Đến nội dung

Hình ảnh

Tổng hợp các bài BĐT

ẩn đi không cho xem

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 164 trả lời

#161
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3903 Bài viết

Bài 3 của bạn có vấn đề ở dấu bằng. Dấu bằng không xảy ra ở đó

Bài 3 của chủ topic @CD13 đúng là có sự nhầm lẫn ở trường hợp xảy ra dấu bằng.
Tác giả đã viết $x=y=z=1$ đúng ra phải là $x=y=z=\sqrt 3$


Bài 3:
Cho $x,y,z >0$ thỏa điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{x^5}{y^2}+\frac{y^5}{z^2}+\frac{z^5}{x^2}$
Lời giải:
Theo $Cauchy$ Ta có:
$$\dfrac{x^5}{y^2}+\dfrac{x^5}{y^2}+\sqrt{3}y^2+\sqrt{3}y^2+3\sqrt{3}\ge \sqrt{3}x^2$$
Cách khác:
Sử dụng Cauchy-Schwarzt ta có
$\frac{x^5}{y^2}+\frac{y^5}{z^2}+\frac{z^5}{x^2}\geqslant \frac{(x^3+y^3+z^3)^2}{xy^2+yz^2+zx^2}$
Sử dụng Cauchy-Schwarzt và AM-GM ta có
$xy^2+yz^2+zx^2\leqslant \sqrt{(x^2+y^2+z^2)(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)}\leqslant \sqrt{\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{3}}=3$
Do đó $P\geqslant \frac{(x^3+y^3+z^3)^2}{3}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{9}=3$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$


Thay vì trích dẫn đúng nội dung, như trong bài viết này, thì bạn @Lee Ziao Jun lại trích dẫn một lô một lốc những bài không liên quan, gây ức chế cho người xem! Mong bạn rút kinh nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 01-05-2023 - 17:08


#162
ThienDuc1101

ThienDuc1101

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Em xin góp 1 câu ạ.

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Tìm GTNN của $P=(a+\frac{1}{b})^2+(b+\frac{1}{c})^2+(c+\frac{1}{a})^2-3(a+b+c)$



#163
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Áp dụng BĐT $\text{AM-GM}$ ta có:

$P=\sum\left(a+\frac{1}{a}\right)^2-3(a+b+c)$ $=\sum\left[\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+4\right]-3(a+b+c)-12$ $\geq\sum4\left(a+\frac{1}{a}\right)-3(a+b+c)-12$ $=a+b+c+4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-12$ $\geq\sqrt[3]{abc}+4\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}-12=3.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1.$

Vậy $\min P=3\Leftrightarrow a=b=c=1.$ 


"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#164
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết

Em xin góp 1 câu ạ.

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Tìm GTNN của $P=(a+\frac{1}{b})^2+(b+\frac{1}{c})^2+(c+\frac{1}{a})^2-3(a+b+c)$

 

Tôi xin thử một cách nhé:

 

Từ giả thiết dễ chỉ ra $a+b+c\ge 3, ab+bc+ca\ge 3$

Sử dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: $ P \ge \frac{(a+b+c + ab+bc+ca)^{2}}{3} -3(a+b+c)\ge \frac{(a+b+c + 3)^{2}}{3} -3(a+b+c)$ = $\frac{(a+b+c)[(a+b+c)-3]}{3} + 3 \ge 3$ 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Kết luận GTNN của P là 3.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 20-05-2023 - 11:26

N.K.S - Learning from learners!


#165
ThienDuc1101

ThienDuc1101

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Em xin góp 1 câu ạ.

(Đề thi chuyên Tin THPT Lam Sơn 2023 - 2024)

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2\geq (a+b+c)\sqrt{ab+bc+ca}$.

Tìm GTNN của $P=a(a-2b+2)+b(b-2c+2)+c(c-2a+2)+\frac{1}{abc}$






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh