Cho $x, y > 0$. CMR :
$\frac{\left ( x + y + 1 \right )^{2}}{xy + y + x} + \frac{xy + y + x}{\left ( x + y + 1 \right )^{2}} \geq \frac{10}{3}$
Cho $x, y > 0$. CMR :
$\frac{\left ( x + y + 1 \right )^{2}}{xy + y + x} + \frac{xy + y + x}{\left ( x + y + 1 \right )^{2}} \geq \frac{10}{3}$
Cho $a, b, c > 0$ thoả mãn : $a + b + c = 3$. CMR :
$a^{2} + b^{2} + c^{2} + \frac{ab + bc + ca}{a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a} \geq 4$
Cho $x, y \in R$ thoả mãn : $x^{2} + y^{2} = 1$. CMR : $x^{2015} + 2016y \leq 2014$
Cho $x, y$ là các số thực khác 0 thoả mãn : $2x^{2} + y^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 4$. CMR : $-1 \leq xy \leq 1$
Cho $abc = 1$. CMR : $2(a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 4(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \geq 7(a + b + c) - 3$
Cho $a, b, c > 0$ và $abc = 1$. CMR :
$a^{n} + b^{n} + c^{n} \geq a^{m} + b^{m} + c^{m}$ (với $n > m$ và $n, m > 0$)
Cho $a, b, c > 0$ và $abc = 1$. CMR :
$\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} + 3 \geq 2(a + b + c)$
Cho $x, y, z > 0$ và $x + y + z = 3$. CMR :
$\frac{x}{x + \sqrt{3x + yz}} + \frac{y}{y + \sqrt{3y + zx}} + \frac{z}{z + \sqrt{3z + xy}} \leq 1$
Cho $a, b, c > 0$. CMR :
$\frac{a^{4}}{(a^{2} + b^{2})(a + b)} + \frac{b^{4}}{(b^{2} + c^{2})(b + c)} + \frac{c^{4}}{(c^{2} + a^{2})(c + a)} \geq \frac{a + b + c}{4}$
Cho $x, y > 0$ thoả mãn : $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{xy}{6} = 3$. Chứng minh :
$27x^{3} + 8y^{3} \geq 432$
Cho $a, b, c > 0$ và $abc = 1$. CMR :
$\frac{a^{3}}{(k + a)(k + b)} + \frac{b^{3}}{(k + b)(k + c)} + \frac{c^{3}}{(k + c)(k + a)} \geq \frac{3}{(1 + k)^{2}}$
Cho $a, b, c > 0$ thoả mãn : $a + 4b + 9c = 6$. CMR:
$a^{3} + b^{3} + c^{3} \geq \frac{1}{6}$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Cho $0 \leq x, y, z \leq 1$. CMR :
$\frac{x}{y + z + 1} + \frac{y}{z + x + 1} + \frac{z}{x + y + 1} + (1 - x)(1 - y)(1 - z) \leq 1$
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Cho $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh của tam giác. CMR :
$(2a^{2} + 2b^{2} - c^{2})(2b^{2} + 2c^{2} - a^{2})(2c^{2} + 2a^{2} - b^{2}) \leq (2a^{2} + bc)(2b^{2} + ca)(2c^{2} + ab)$
Cho $a, b, c > 0$. CMR :
$\frac{a^{2} + b^{2}}{a + b} + \frac{b^{2} + c^{2}}{b + c} + \frac{c^{2} + a^{2}}{c + a} \leq 3(\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{a + b + c})$
Cho $a, b, c, d \geq 1$ thoả mãn : $\frac{1}{1 + a^{3}} + \frac{1}{1 + b^{3}} + \frac{1}{1 + c^{3}} + \frac{1}{1 + d^{3}} = 1$. CMR : $\frac{1 + a^{3}}{a} + \frac{1 + b^{3}}{b} + \frac{1 + c^{3}}{c} + \frac{1 + d^{3}}{d} \geq 4(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d})$
Cho $a, b, c > 0$. CMR :
$8(\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}}) + \frac{ab + bc + ca}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \geq 25$
Cho $a, b, c \geq 1$.CMR :
$(1 + \frac{1}{a})^{4} + (1 + \frac{1}{b})^{4} + (1 + \frac{1}{c})^{4} \geq 3(1 + \frac{3}{2 + abc})^{4}$
Cho $x, y > 0$ và $x + y \leq 1$. CMR :
$\sqrt{4x^{2} + \frac{1}{y^{2}}} + \sqrt{4y^{2} + \frac{1}{x^{2}}} - (\frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{y}{y^{2} + 1}) > 3$
Cho $x, y, z \geq 0$. CMR:
$x(x - z)^{2} + y(y - z)^{2} \geq (x - z)(y - z)(x + y - z)$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh