Chủ đề này có 164 trả lời

[nguyentinh]

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. chứng minh rằng $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3\left ( \frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b} \right )\geq 2\left ( a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$

[chcd]

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $x\geq y\geq z$ và x + y + z = 3. Tìm GTNN của $P=\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+3y$

[Sherlock Homes]

Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn: a+b=2/3. Chứng minh rằng 1/căn(a+2b)+1/căn(b+2a)>=2

[cristianoronaldo]

Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn: a+b=$\frac{2}{3}$. Chứng minh rằng P=$\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2a}}\geq 2$

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$

Ta có$\geq \frac{4}{\sqrt{a+2b}+\sqrt{b+2a}}\geq \frac{2}{\sqrt{\frac{a+2b+b+2a}{2}}}=2$

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=$\frac{1}{3}$

[thjiuyghjiuytgjkiutghj]

Cho $a,b\in N\ast$ thoả $(\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b})\in N\ast$. Gọi d là ước chung của a và b. CMR : $d\leq \sqrt{a+b}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thjiuyghjiuytgjkiutghj: 02-07-2016 - 17:03

[thjiuyghjiuytgjkiutghj]

Cho $a,b,c>0$ thoả $a+b+c=1$. Tìm GTNN của $F=14(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

[thjiuyghjiuytgjkiutghj]

Cho $x,y,z>0$ thoả $xy+yz+zx=1$. CMR : $\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^{2}}}\leq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thjiuyghjiuytgjkiutghj: 02-07-2016 - 18:21

[tpdtthltvp]

Cho $a,b\in N\ast$ thoả $(\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b})\in N\ast$. Gọi d là ước chung của a và b. CMR : $d\leq \sqrt{a+b}$

Từ $\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b}\in \mathbb{N}^*$ suy ra $a+b\vdots ab$, dẫn đến $a+b\geq ab$.

Mặt khác do $d$ là ước chung của $a,b$ nên $ab\geq d^2$.

Do đó: $a+b\geq d^2\Rightarrow \sqrt{a+b}\geq d(\text{đpcm})$

 

 

Cho $a,b,c>0$ thoả $a+b+c=1$. Tìm GTNN của $F=14(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

Ta có: $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=(a^3+a^2b+ab^2)+(b^3+b^2c+bc^2)+(c^3+c^2a+ca^2)\geq 3a^2b+3b^2c+3c^2a\text{ (}AM-GM)\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\leq \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)$

Do đó:

$$A=14(a^2+b^2+c^2)+\frac{\frac{1-(a^2+b^2+c^2)}{2}}{a^2b+b^2c+c^2a}\geq 14(a^2+b^2+c^2)+\frac{1-(a^2+b^2+c^2)}{\frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)}=14(a^2+b^2+c^2)+\frac{3}{2(a^2+b^2+c^2)}-\frac{3}{2}=[\frac{27(a^2+b^2+c^2)}{2}+\frac{3}{2(a^2+b^2+c^2)}]+\frac{a^2+b^2+c^2}{2}-\frac{3}{2}\geq 9+\frac{1}{6}-\frac{3}{2}=\frac{23}{2}$$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}.$

 

 

Cho $x,y,z>0$ thoả $xy+yz+zx=1$. CMR : $\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^{2}}}\leq \frac{3}{2}$

Có: $$\sum \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\sum \frac{x}{\sqrt{xy+yz+zx+x^2}}=\sum \frac{x}{\sqrt{(x+y)(z+x)}}\leq \sum \frac{1}{2}(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{z+x})=\frac{3}{2}$$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 02-07-2016 - 21:30

[thjiuyghjiuytgjkiutghj]

Từ $\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b}\in \mathbb{N}^*$ suy ra $a+b\vdots ab$, dẫn đến $a+b\geq ab$.
Mặt khác do $d$ là ước chung của $a,b$ nên $ab\geq d^2$.
Do đó: $a+b\geq d^2\Rightarrow \sqrt{a+b}\geq d(\text{đpcm})$



Ta có: $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=(a^3+a^2b+ab^2)+(b^3+b^2c+bc^2)+(c^3+c^2a+ca^2)\geq 3a^2b+3b^2c+3c^2a\text{ (}AM-GM)\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\leq \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)$
Do đó:
$$A=14(a^2+b^2+c^2)+\frac{\frac{1-(a^2+b^2+c^2)}{2}}{a^2b+b^2c+c^2a}\geq 14(a^2+b^2+c^2)+\frac{1-(a^2+b^2+c^2)}{\frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)}=14(a^2+b^2+c^2)+\frac{3}{2(a^2+b^2+c^2)}-\frac{3}{2}=[\frac{27(a^2+b^2+c^2)}{2}+\frac{3}{2(a^2+b^2+c^2)}]+\frac{a^2+b^2+c^2}{2}-\frac{3}{2}\geq 9+\frac{1}{6}-\frac{3}{2}=\frac{23}{2}$$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}.$



Có: $$\sum \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\sum \frac{x}{\sqrt{xy+yz+zx+x^2}}=\sum \frac{x}{\sqrt{(x+y)(z+x)}}\leq \sum \frac{1}{2}(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{z+x})=\frac{3}{2}$$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{\s

Từ $\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b}\in \mathbb{N}^*$ suy ra $a+b\vdots ab$, dẫn đến $a+b\geq ab$.
Mặt khác do $d$ là ước chung của $a,b$ nên $ab\geq d^2$.
Do đó: $a+b\geq d^2\Rightarrow \sqrt{a+b}\geq d(\text{đpcm})$



Ta có: $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=(a^3+a^2b+ab^2)+(b^3+b^2c+bc^2)+(c^3+c^2a+ca^2)\geq 3a^2b+3b^2c+3c^2a\text{ (}AM-GM)\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\leq \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)$
Do đó:
$$A=14(a^2+b^2+c^2)+\frac{\frac{1-(a^2+b^2+c^2)}{2}}{a^2b+b^2c+c^2a}\geq 14(a^2+b^2+c^2)+\frac{1-(a^2+b^2+c^2)}{\frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)}=14(a^2+b^2+c^2)+\frac{3}{2(a^2+b^2+c^2)}-\frac{3}{2}=[\frac{27(a^2+b^2+c^2)}{2}+\frac{3}{2(a^2+b^2+c^2)}]+\frac{a^2+b^2+c^2}{2}-\frac{3}{2}\geq 9+\frac{1}{6}-\frac{3}{2}=\frac{23}{2}$$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}.$



Có: $$\sum \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\sum \frac{x}{\sqrt{xy+yz+zx+x^2}}=\sum \frac{x}{\sqrt{(x+y)(z+x)}}\leq \sum \frac{1}{2}(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{z+x})=\frac{3}{2}$$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Bạn có thể giải cách lớp 9 giúp mình được ko (bài Chứng minh $\leq \frac{3}{2}$) !?! Cảm ơn bạn nhiều !?!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thjiuyghjiuytgjkiutghj: 02-07-2016 - 21:40

[ngoalong131209]

đó là cách lớp 9 đó pn

[thjiuyghjiuytgjkiutghj]

đó là cách lớp 9 đó pn

Lớp 9 đâu có học $\Sigma$ !!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thjiuyghjiuytgjkiutghj: 03-07-2016 - 18:02

[ngoalong131209]

xích ma đó chẳng qua là tổng thôi mà

[thuylinhnguyenthptthanhha]

 

Bài này làm sao có thể tìm được dấu = để dùng cauchy ạ? Các bác nói em cách tìm dấu = với 

 

Bài 9:

Cho các số thực dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

$P=\frac{2}{a+ \sqrt{ab}+ \sqrt[3]{abc}}-\frac{3}{\sqrt{a+b+c}}$

Giải: $a + \sqrt{\frac{a}{2}.2b} + \sqrt[3]{\frac{a}{4}.b.4c} \leq a + \frac{a}{4} + b + \frac{a}{12} + \frac{b}{3} + \frac{4c}{3} = \frac{4}{3}(a+b+c) => P \geq \frac{3}{2(a+b+c)} - \frac{3}{\sqrt{a+b+c}}$

 

Đánh giá theo kiểu $x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq k(x+y+z)$ thì ta sẽ dùng BĐT Cauchy. Nhưng nếu dùng bừa thì sẽ đi vào bế tắc! Ví dụ:

$x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq x+\frac{x+y}{2}+\frac{x+y+z}{3}=\frac{11x}{6}+\frac{5y}{6}+\frac{z}{3}\rightarrow $  pó tay...

Vậy chúng ta cần chọn những hằng số $a,b,c$ để vc sd BĐT đc thuận lợi!

Ta có biến đổi:

$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{xy}=\sqrt{ax.\frac{y}{a}}\leq\frac{1}{2}(ax+\frac{y}{a}) \\ \sqrt[3]{xyz}=\sqrt[3]{(bx)(cy)\frac{z}{bc}}\leq \frac{1}{3}(bx+cy+\frac{z}{bc}) \end{array} \right.$

$\rightarrow VT\leq (1+\frac{a}{2}+\frac{b}{3})x+(\frac{1}{2a}+\frac{c}{3})y+\frac{1}{3bc}z$

Ta phải có:$1+\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=\frac{1}{2a}+\frac{c}{3}=\frac{1}{3bc}.$

Đồng thời khi dấu đẳng thức xảy ra ở các BĐT trên:

$\left\{ \begin{array}{l} ax=\frac{y}{a}\\ bx=cy=\frac{z}{bc} \end{array} \right.\Rightarrow \frac{y}{x}=a^2=\frac{b}{c}.$

Vậy ta giải hệ:

$\left\{ \begin{array}{l} 1+\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=\frac{1}{2a}+\frac{c}{3}(2)=\frac{1}{3bc}\\ a^2=\frac{b}{c} \end{array} \right.$ với $a,b,c>0.$

Ta có: $a^2=\frac{b}{c}\Leftrightarrow b=a^2c$ Thế vô $(2)$:

$\frac{1}{2a}+\frac{c}{3}=\frac{1}{3a^2c^2}\Leftrightarrow 2c^3a^2+3c^2a-2=0$ phương trình ẩn $a$ này có tích $AC<0$ nên có $2$ nghiệm trái dấu. ($AC$ ở đây là hệ số)

$\Leftrightarrow a=\frac{-3c+\sqrt{9c^2+16c}}{4c^2}$ ( do $a>0$ ).

Lại có: $1+\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=\frac{1}{2a}+\frac{c}{3}\Leftrightarrow b=\frac{3}{2a}+c-\frac{3a}{2}-3$

Thế vô $a^2=\frac{b}{c}$ được:

$(\frac{-3c+\sqrt{9c^2+16c}}{4c^2})^2=\frac{\frac{3}{\frac{2.(-3c+\sqrt{9c^2+16c})}{4c^2}+c-\frac{3}{2}.\frac{-3c+\sqrt{9c^2+16c}}{4c^2}-3}}{c}$

$\rightarrow c=1\Rightarrow a=\frac{1}{2}\Rightarrow b=\frac{1}{4}.$

Đến đây chắc ok r~~!!

[thjiuyghjiuytgjkiutghj]

Tìm GTNN của :
$a) A=2x+\sqrt{x}+3$
$b) B=x+4\sqrt{x}+4$

[Baoriven]

Hai bài này đều có cách giải giống nhau.

Do điều kiện: $x\geq 0$ nên

a) $A\geq 3$

b) $B\geq 4$

Dấu bằng xảy ra ở a) và b) đều là $x=0$

[thjiuyghjiuytgjkiutghj]

Chứng minh : $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{47}+\sqrt{48}}>3$

[thjiuyghjiuytgjkiutghj]

Cho $a\in R$ và $a\geq2$. CMR : $P\geq4$, với $P=\frac{\sqrt{a^{2}}(\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}+\sqrt{a-2\sqrt{a-1}})}{\sqrt{a^{2}-2a+1}}$

[Baoriven]

Lời giải chứng minh $P\geq 4$:

Ta có: $P=\frac{a(\sqrt{a-1}+1+\sqrt{a-1}-1)}{a-1}=\frac{2a}{\sqrt{a-1}}$.

Ta cần chứng minh: $P\geq 4\Leftrightarrow \frac{2a}{\sqrt{a-1}}\geq 4\Leftrightarrow a\geq 2\sqrt{a-1}\Leftrightarrow (a-2)^2\geq 0$

BĐT cuối luôn đúng.

Dấu bằng xảy ra khi $a=2$.

[thjiuyghjiuytgjkiutghj]

Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số $n$ nguyên dương :

$\sqrt[3]{(n+1)^{2}}-\sqrt[3]{n^{2}}<\frac{2}{3\sqrt[3]{n}}<\sqrt[3]{n^{2}}-\sqrt[3]{(n-1)^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thjiuyghjiuytgjkiutghj: 09-07-2016 - 18:41

[thjiuyghjiuytgjkiutghj]

Tìm giá trị nhỏ nhất của :

$a)A=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}$, với $a>0,b>0$ và $ a+b\leq 1$

$b)B=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{4}+(\sqrt{a}+\sqrt{c})^{4}+(\sqrt{a}+\sqrt{d})^{4}+(\sqrt{b}+\sqrt{c})^{4}+(\sqrt{b}+\sqrt{d})^{4}+(\sqrt{c}+\sqrt{d})^{4}$, với $a,b,c,d$ là các số dương và $a+b+c+d\leq 1$