Chủ đề này có 1 trả lời

[gogeta]

1. Giả sử $a+b+c=0$

Chứng minh rằng tồn tại 1 trong 3 phương trình sau có nghiệm:

                              $x^2+ax+1=0$

                              $x^2+bx+1=0$

                              $x^2+cx+1=0$.

2. Chứng minh phương trình $x^2-2mx+2010.2011=0$ không có nghiệm nguyên $\forall m\in \mathbb{Z}$.

3. Cho phương trình: $x^2-2(m+1)x+m-4=0$

a) Giải phương trình khi $m=1$.

b) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $\forall m$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

Bài 1. Điều cần chứng minh vô lý khi $(a; b; c) = (0; 0; 0); (0; 1; -1)...$

 

Bài 2.

Theo định lý Viét, ta có:

• $x_1 + x_2 = 2m \, (1)$
• $x_1.x_2 = 2010.2011 \, (2)$

Giả sử phương trình đó có nghiệm nguyên.

 

- Vì $m \in Z$ nên từ (1), suy ra: $x_1$ và $x_2$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ. (Nói đúng hơn là cùng có dạng 2k hoặc 2k + 1).

- Mặt khác: $x_1.x_2 = 2010.2011$ nên suy ra, hai nghiệm này cùng chẵn.

 

Vì vậy: $x_1.x_2 $ $\vdots$ $4$. Mà $2011.2010$ $\not \vdots$ $4$.

Vậy, điều giả sử là sai. Tức là phương trình ban đầu không có nghiệm nguyên.

Bài 3.

a) $x = -2 \pm \sqrt{7}$

b) Xét biệt thức $\Delta' = (m + 1)^2 - (m - 4) = m^2 + m + 5 = (m + \dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{19}{4} > 0$ $\forall m \in R$

Vậy, phương trình có nghiệm với mọi m.