Chủ đề này có 2 trả lời

[NGOCTIEN_A1_DQH]

cho dãy {$x_n$} thỏa $ 0<x_0<x_1$ và: 

 

$$ \sqrt{1+x_n}(1+\sqrt{x_{n-1}x_{n+1}})=\sqrt{1+x_{n-1}}(1+\sqrt{x_nx_{n+1}})$$

 

CMR dãy {$x_n$} hội tụ khi $ n \to +\infty $ và tính $ \lim_{n \to +\infty} x_n $

 

[eneim]

mới nghĩ đến đoạn 2 dãy chắn lẻ đơn điệu ngược chiều bị chặn cả 2 đầu và điểm nội tụ bằng nhau. tính toán điểm giới hạn hình như không dễ nên mình nghỉ luôn (không có thời gian làm nốt). bạn nào có lời giải post tham khảo với, hy vọng vài này có cách tính toán đẹp mắt.

[Ispectorgadget]

cho dãy {$x_n$} thỏa $ 0<x_0<x_1$ và: 

 

$$ \sqrt{1+x_n}(1+\sqrt{x_{n-1}x_{n+1}})=\sqrt{1+x_{n-1}}(1+\sqrt{x_nx_{n+1}})$$

 

CMR dãy {$x_n$} hội tụ khi $ n \to +\infty $ và tính $ \lim_{n \to +\infty} x_n $

Đặt $${x_0} = t{g^2}{a_0},\,\,{x_1} = t{g^2}{a_1},\,\,{x_2} = t{g^2}\varphi \,\,\,\left( {{a_0},{a_1},\varphi \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)} \right)$$

Theo giả thiết, với $n=1$ ta được:

$$\sqrt {1 + {x_1}} \left( {1 + \sqrt {{x_0}{x_2}} } \right) = \sqrt {1 + {x_0}} \left( {1 + \sqrt {{x_1}{x_2}} } \right) \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\cos {a_1}}}\left( {1 + tg{a_0}tg\varphi } \right) = \dfrac{1}{{\cos {a_0}}}\left( {1 + tg{a_1}tg\varphi } \right)$$

$$ \Leftrightarrow \cos {a_0}\left( {1 + tg{a_0}tg\varphi } \right) = \cos {a_1}\left( {1 + tg{a_1}tg\varphi } \right) \Leftrightarrow \cos {a_0} + \sin {a_0}tg\varphi = \cos {a_1} + \sin {a_1}tg\varphi $$

$$ \Leftrightarrow tg\varphi = \dfrac{{\cos {a_0} - \cos {a_1}}}{{\sin {a_1} - \sin {a_0}}} = tg\dfrac{{{a_0} + {a_1}}}{2}\,\,\,\,\,\left( {{a_0} \ne {a_1}} \right)$$

Đặt $${a_2} = \dfrac{{{a_0} + {a_1}}}{2} \Rightarrow {x_2} = t{g^2}\varphi = t{g^2}{a_2}\,\,\,\,\left( {{a_1} \ne {a_2}} \right)$$

Lập dãy $\left\{ {{a_n}} \right\}$ thoả ${a_{n + 1}} = \dfrac{{{a_{n - 1}} + {a_n}}}{2},\,n \ge 1$.

Bằng phương pháp sai phân tìm được CTTQ của $\left\{ {{a_n}} \right\}$:

$${a_n} = {c_1} + {c_2}{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^n},\,\,{c_1} = \dfrac{{{a_0} + 2{a_1}}}{3}$$

Bằng quy nạp, chứng minh được: $${a_{n + 1}} \ne {a_n},\,\,{x_n} = t{g^2}{a_n},\,\,\forall n \in N$$

Khi đó: $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = {c_1} = \dfrac{{{a_0} + 2{a_1}}}{3} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x_n} = t{g^2}\left( {\dfrac{{{a_0} + 2{a_1}}}{3}} \right)$$