Chủ đề này có 10 trả lời

[fa4ever]

Cho a,b,cdương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b^{3}+2}+\frac{b}{c^{3}+2}+\frac{c}{a^{3}+2}\geq 1$

[ngoctruong236]

$\dpi{120} \small \;Thuc \;chat \; day \;chinh \; la\;bai \;toan \;: \;Cho \;a,b,c \;la \;cac \;so \;thuc \; duong\; thoa\;man \;a+b+c=3 \;CMR: \frac{a}{b^{3}+2}+\frac{b}{c^{3}+2}+\frac{c}{a^{3}+2}\geq 1\;.Ta CM \; BDT\;nay \; nhu\;sau \;.BDt \; can\;CM \;tuong \;duong \;voi \;(\frac{a}{2}-\frac{a}{b^3+2})+(\frac{b}{2}-\frac{b}{c^3+2})+\left ( \frac{c}{2}-\frac{c}{a^3+2} \right )\leq \frac{1}{2} \;hay \;\frac{ab^3}{b^3+2}+\frac{bc^3}{c^3+2}+\frac{ca^3}{a^3+2}\leq 1 \;Su \;dung \; BDT\;AM-GM \;,ta \;co \;b\leq \frac{b^3+1+1}{3}=\frac{b^3+2}{3}\rightarrow \frac{ab^3}{b^3+2}= \frac{ab^2.b}{b^3+2}\leq \frac{ab^2}{3}\; \rightarrow \sum \frac{ab^3}{b^3+2}\leq\ \frac{ab^2+bc^2+ca^2}{3}\;.Bai \;toan \; quy\; ve\; CM\; ab^2+bc^2+ca^2\leq 3.\;Mat \neq abc=1\rightarrow can CM \; ab^2+bc^2+ca^2+abc\leq 4\;.BDT \;nay \;chinh \; la\; BDT\;co \;ban \;(a+b+c)^3\geq \frac{27}{4}(ab^2+bc^2+ca^2+abc)\rightarrow dpcm \; \; \; \; \; \; \;$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngoctruong236: 28-07-2013 - 18:55

[25 minutes]

Bai \;toan \; quy\; ve\; CM\; ab^2+bc^2+ca^2\leq 3.\;Mat \neq abc\leq \frac{(a+b+c)^3}{27}=1\rightarrow can CM \; ab^2+bc^2+ca^2+abc\leq 4\

Đây có phải cộng $2$ bất đẳng thức cùng chiều đâu mà làm thế này được ?

[25 minutes]

y anh la gi

Ta có $\left\{\begin{matrix} ab^2+bc^2+ca^2+abc \leqslant 4\\abc \leqslant 1 \end{matrix}\right.$ thì làm sa0 mà suy ra được $ab^2+bc^2+ca^2 \leqslant 3$

P/S: MOD xóa mấy bài spam này đi nhé

[ngoctruong236]

hoan toan co the gia su a+b+c=3 hoac abc =1 trong bai nay ma anh

[trandaiduongbg]

Cho a,b,cdương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b^{3}+2}+\frac{b}{c^{3}+2}+\frac{c}{a^{3}+2}\geq 1$

Mình có cách này chẳng biết có đúng ko?
Ta có:
BDT $\Leftrightarrow$ $$\frac{2a}{b^3+2}+\frac{2b}{c^3+2}+\frac{2c}{a^3+2} \geq 2$$

$\Leftrightarrow$ $$1-\frac{2a}{b^3+2}+1-\frac{2b}{c^3+2}+1-\frac{2c}{a^3+2} \leq 1$$

Theo $AM-GM$ ta có: $b^3+2=b^3+1+1\geq3b$

$\Rightarrow$ BDT $\Leftrightarrow$ $$1-\frac{2a}{3b}+1-\frac{2b}{3c}+1-\frac{2c}{3a} \leq 1$$

$\Leftrightarrow$ $$3-\frac{2}{3}.(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}) \leq 1$$

$\Leftrightarrow$ $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq 3$$

Hiển nhiên đúng theo $AM-GM$

$\Rightarrow$ BDT đc chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trandaiduongbg: 28-07-2013 - 21:55

[badboykmhd123456]

Mình có cách này chẳng biết có đúng ko?
Ta có:
BDT $\Leftrightarrow$ $$\frac{2a}{b^3+2}+\frac{2b}{c^3+2}+\frac{2c}{a^3+2} \geq 2$$

$\Leftrightarrow$ $$1-\frac{2a}{b^3+2}+1-\frac{2b}{c^3+2}+1-\frac{2c}{a^3+2} \leq 1$$

Theo $AM-GM$ ta có: $b^3+2=b^3+1+1\geq3b$

$\Rightarrow$ BDT $\Leftrightarrow$ $$1-\frac{2a}{3b}+1-\frac{2b}{3c}+1-\frac{2c}{3a} \leq 1$$

$\Leftrightarrow$ $$3-\frac{2}{3}.(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}) \leq 1$$

$\Leftrightarrow$ $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq 3$$

Hiển nhiên đúng theo $AM-GM$

$\Rightarrow$ BDT đc chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

ngược dấu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi badboykmhd123456: 31-07-2013 - 21:35

[buiminhhieu]

ngược dấu

cậu ơi nhìn lại đi nó cộng vào ra thế 

[badboykmhd123456]

cậu ơi nhìn lại đi nó cộng vào ra thế 

mình bôi đên nhầm đấy cái dòng trên áp dụng Cauchy là ngược dấu rồi

[letankhang]

mình bôi đên nhầm đấy cái dòng trên áp dụng Cauchy là ngược dấu rồi

Đúng mà bạn : $b^{3}+1+1\geq 3\sqrt[3]{b^{3}.1.1}=3b$ Ngược dấu sao được @@!

[badboykmhd123456]

Đúng mà bạn : $b^{3}+1+1\geq 3\sqrt[3]{b^{3}.1.1}=3b$ Ngược dấu sao được @@!

$b^3+1+1 \geq 3b\Rightarrow \frac{2a}{b^2+2} \leq \frac{2a}{3b}\Rightarrow 1-\frac{2a}{b^2+2} \geq 1-\frac{2a}{3b}$ đến đây đã thấy ngược chưa bởi đang cần chứng minh $VT \leq 1$ chứ không phải $\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi badboykmhd123456: 01-08-2013 - 08:53