Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho a,b,cdương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b^{3}+2}+\frac{b}{c^{3}+2}+\frac{c}{a^{3}+2}\geq 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 fa4ever

fa4ever

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 26-07-2013 - 22:39

Cho a,b,cdương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b^{3}+2}+\frac{b}{c^{3}+2}+\frac{c}{a^{3}+2}\geq 1$



#2 ngoctruong236

ngoctruong236

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10 Toán 1,THPT chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:inequalities,geometry and number theory

Đã gửi 28-07-2013 - 18:34

$\dpi{120} \small \;Thuc \;chat \; day \;chinh \; la\;bai \;toan \;: \;Cho \;a,b,c \;la \;cac \;so \;thuc \; duong\; thoa\;man \;a+b+c=3 \;CMR: \frac{a}{b^{3}+2}+\frac{b}{c^{3}+2}+\frac{c}{a^{3}+2}\geq 1\;.Ta CM \; BDT\;nay \; nhu\;sau \;.BDt \; can\;CM \;tuong \;duong \;voi \;(\frac{a}{2}-\frac{a}{b^3+2})+(\frac{b}{2}-\frac{b}{c^3+2})+\left ( \frac{c}{2}-\frac{c}{a^3+2} \right )\leq \frac{1}{2} \;hay \;\frac{ab^3}{b^3+2}+\frac{bc^3}{c^3+2}+\frac{ca^3}{a^3+2}\leq 1 \;Su \;dung \; BDT\;AM-GM \;,ta \;co \;b\leq \frac{b^3+1+1}{3}=\frac{b^3+2}{3}\rightarrow \frac{ab^3}{b^3+2}= \frac{ab^2.b}{b^3+2}\leq \frac{ab^2}{3}\; \rightarrow \sum \frac{ab^3}{b^3+2}\leq\ \frac{ab^2+bc^2+ca^2}{3}\;.Bai \;toan \; quy\; ve\; CM\; ab^2+bc^2+ca^2\leq 3.\;Mat \neq abc=1\rightarrow can CM \; ab^2+bc^2+ca^2+abc\leq 4\;.BDT \;nay \;chinh \; la\; BDT\;co \;ban \;(a+b+c)^3\geq \frac{27}{4}(ab^2+bc^2+ca^2+abc)\rightarrow dpcm \; \; \; \; \; \; \;$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngoctruong236: 28-07-2013 - 18:55


#3 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 28-07-2013 - 18:40

Bai \;toan \; quy\; ve\; CM\; ab^2+bc^2+ca^2\leq 3.\;Mat \neq abc\leq \frac{(a+b+c)^3}{27}=1\rightarrow can CM \; ab^2+bc^2+ca^2+abc\leq 4\

Đây có phải cộng $2$ bất đẳng thức cùng chiều đâu mà làm thế này được ?


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#4 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 28-07-2013 - 18:47

y anh la gi

Ta có $\left\{\begin{matrix} ab^2+bc^2+ca^2+abc \leqslant 4\\abc \leqslant 1 \end{matrix}\right.$ thì làm sa0 mà suy ra được $ab^2+bc^2+ca^2 \leqslant 3$

P/S: MOD xóa mấy bài spam này đi nhé :)


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#5 ngoctruong236

ngoctruong236

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10 Toán 1,THPT chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:inequalities,geometry and number theory

Đã gửi 28-07-2013 - 18:55

hoan toan co the gia su a+b+c=3 hoac abc =1 trong bai nay ma anh



#6 trandaiduongbg

trandaiduongbg

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 327 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\textit{Chôn nỗi đau nơi tận cùng thế giới}$
  • Sở thích:$\textit{Nhìn thấy bạn mỉm cười...}$

Đã gửi 28-07-2013 - 21:54

Cho a,b,cdương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b^{3}+2}+\frac{b}{c^{3}+2}+\frac{c}{a^{3}+2}\geq 1$

Mình có cách này chẳng biết có đúng ko?
Ta có:
BDT $\Leftrightarrow$ $$\frac{2a}{b^3+2}+\frac{2b}{c^3+2}+\frac{2c}{a^3+2} \geq 2$$

$\Leftrightarrow$ $$1-\frac{2a}{b^3+2}+1-\frac{2b}{c^3+2}+1-\frac{2c}{a^3+2} \leq 1$$

Theo $AM-GM$ ta có: $b^3+2=b^3+1+1\geq3b$

$\Rightarrow$ BDT $\Leftrightarrow$ $$1-\frac{2a}{3b}+1-\frac{2b}{3c}+1-\frac{2c}{3a} \leq 1$$

$\Leftrightarrow$ $$3-\frac{2}{3}.(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}) \leq 1$$

$\Leftrightarrow$ $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq 3$$

Hiển nhiên đúng theo $AM-GM$

$\Rightarrow$ BDT đc chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trandaiduongbg: 28-07-2013 - 21:55

79c224405ed849a4af82350b3f6ab358.0.gif

 

 


#7 badboykmhd123456

badboykmhd123456

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 296 Bài viết

Đã gửi 29-07-2013 - 22:42

Mình có cách này chẳng biết có đúng ko?
Ta có:
BDT $\Leftrightarrow$ $$\frac{2a}{b^3+2}+\frac{2b}{c^3+2}+\frac{2c}{a^3+2} \geq 2$$

$\Leftrightarrow$ $$1-\frac{2a}{b^3+2}+1-\frac{2b}{c^3+2}+1-\frac{2c}{a^3+2} \leq 1$$

Theo $AM-GM$ ta có: $b^3+2=b^3+1+1\geq3b$

$\Rightarrow$ BDT $\Leftrightarrow$ $$1-\frac{2a}{3b}+1-\frac{2b}{3c}+1-\frac{2c}{3a} \leq 1$$

$\Leftrightarrow$ $$3-\frac{2}{3}.(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}) \leq 1$$

$\Leftrightarrow$ $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq 3$$

Hiển nhiên đúng theo $AM-GM$

$\Rightarrow$ BDT đc chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

ngược dấu


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi badboykmhd123456: 31-07-2013 - 21:35


#8 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 31-07-2013 - 20:54

ngược dấu

cậu ơi nhìn lại đi nó cộng vào ra thế 


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#9 badboykmhd123456

badboykmhd123456

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 296 Bài viết

Đã gửi 31-07-2013 - 21:34

cậu ơi nhìn lại đi nó cộng vào ra thế 

mình bôi đên nhầm đấy cái dòng trên áp dụng Cauchy là ngược dấu rồi



#10 letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\sqrt{MF}$
  • Sở thích:$Maths$

Đã gửi 31-07-2013 - 23:25

mình bôi đên nhầm đấy cái dòng trên áp dụng Cauchy là ngược dấu rồi

Đúng mà bạn : $b^{3}+1+1\geq 3\sqrt[3]{b^{3}.1.1}=3b$ Ngược dấu sao được @@!


        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#11 badboykmhd123456

badboykmhd123456

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 296 Bài viết

Đã gửi 01-08-2013 - 08:51



Đúng mà bạn : $b^{3}+1+1\geq 3\sqrt[3]{b^{3}.1.1}=3b$ Ngược dấu sao được @@!

$b^3+1+1 \geq 3b\Rightarrow \frac{2a}{b^2+2} \leq \frac{2a}{3b}\Rightarrow 1-\frac{2a}{b^2+2} \geq 1-\frac{2a}{3b}$ đến đây đã thấy ngược chưa bởi đang cần chứng minh $VT \leq 1$ chứ không phải $\geq 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi badboykmhd123456: 01-08-2013 - 08:53





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh