Chứng minh rằng mọi đa thức bậc chẵn hệ số lẻ đều không có nghiệm hữu tỷ .
Chứng minh mọi đa thức bậc chẵn hệ số lẻ đều không có nghiệm hữu tỷ
#1
Posted 27-07-2013 - 10:57
- Juliel and ngoctruong236 like this
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
#2
Posted 22-08-2013 - 14:54
Chứng minh rằng mọi đa thức bậc chẵn hệ số lẻ đều không có nghiệm hữu tỷ .
Xét đa thức $$P(x)=a_{2k}x^{2k}+a_{2k-1}x^{2k-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$$
Trong đó $k$ là số nguyên dương và $a_{2k},a_{2k-1},...,a_{2},a_{1},a_{0}$ là các số nguyên lẻ.
Giả sử đa thức trên có nghiệm hữu tỉ $\frac{p}{q}$ với $p,q\in \mathbb{Z},gcd(p,q)=1$
Khi đó : $$a_{2k}\left ( \frac{p}{q} \right )^{2k}+a_{2k-1}\left ( \frac{p}{q} \right )^{2k-1}+...+a_{1}.\left ( \frac{p}{q} \right )+a_{0}\Leftrightarrow a_{2k}p^{2k}+a_{2k-1}p^{2k-1}q+...+a_{1}pq^{2k-1}+a_{0}q^{2k}=0\qquad(*)$$
Mặt khác ta có tính chất nếu $\frac{p}{q}$ (tối giản) là nghiệm hữu tỉ của một đa thức thì hệ số bậc cao nhất chia hết cho $q$ và hệ số tự do chia hết cho $p$.
Tức là $q|a_{2k};\qquad q|a_{0}$ mà $a_{2k},a_{0}$ lẻ nên $p,q$ đều lẻ.
Khi đó vế trái của (*) là tổng của $2k+1$ số lẻ nên $VT(1)$ lẻ. Nhưng $VP(1)=0$ chẵn. Mâu thuẫn
Gỉa thiết phản chứng sai, ta có đpcm.
- LNH, bangbang1412 and Leonguyen like this
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
Also tagged with one or more of these keywords: phương trình nghiệm nguyên, chia hết, số học
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$x^2+y^2+1\vdots 2xy+1$Started by Pi1576, 13-05-2024 số học |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$a! + b! + c! = 2^{d}$Started by Khanh369, 10-05-2024 giai thừa, số học |
|
|||
Answered
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$2^{a!} + 2^{b!} = c!$Started by Khanh369, 08-05-2024 giai thừa, số học |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Giải phương trình nghiệm nguyên: $pqr + q + r = 2$Started by Khanh12321, 25-04-2024 phương trình nghiệm nguyên |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$xy(x^2+y^2)+x^3+y^3=19$Started by Duc3290, 21-04-2024 phương trình nghiệm nguyên |
|
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users