Chủ đề này có 389 trả lời

[caybutbixanh]

Bài 3: Tùy theo tham số $m,$ tìm GTNN của $P= (x-2y+1)^2+(2x-my+3)^2.$ với $\forall x,y \in \mathbb{R}$

 

Lời giải :

Xét hai đường thẳng :

$(d_1):x-2y+1=0; (d_2):2x-my+3=0;$

Xét hệ gồm 2 phương trình của 2 đường thẳng trên...

Vậy giá trị của P phụ thuộc vào vị trí tương đối của $(d_1)$ và $(d_2)$

$D=a_1.b_2-a_2.b_1=-m+4;\\$

$D_x=c_1.b_2-c_2.b_1=m-6;\\$

$D_y= a_1.c_2-a_2.c_1=-1;$

Trường hơp 1: $(d_1)$ cắt $(d_2)$ tức $D \neq 0$ hay $m \neq 4$

Khi đó hệ có nghiệm $x=\frac{D_x}{D}=\frac{m-6}{-m+4};$

$y=\frac{D_y}{D}=\frac{-1}{-m+4};$

Do đó GTNN P =0;

Trường hơp 2:  $D=0$ hay $m=4$; Với m=4 thì $D_x=-2 \neq 0$ nên hệ vô nghiệm . Suy ra $d_1$ song song $d_2$

Đặt $t= x-2y+1$, P trở thành $P= t^2+(2t+1)^2=5(t+\frac{2}{5})^2+\frac{1}{5} \geq \frac{1}{5}$

Dấu bằng xảy ra khi $t=\frac{-2}{5}$ hay $5x-10y+7=0$

Kết luận :

+,$m \neq 4$ thì $min P=0$ khi $x=\frac{D_x}{D}=\frac{m-6}{-m+4} ,y=\frac{D_y}{D}=\frac{-1}{-m+4};$

+, $m=4$ thì $min P=\frac{1}{5}$ khi x,y thuộc đường thẳng $5x-10y+7=0$

[Pham Dac Thanh 1998]

bài 5, a,b,c$\geq$0 $a+b+c=1$ Tìm Min $P=\sqrt{a^{3}+3a+0.5}+\sqrt{b^{3}+3b+0.5}+\sqrt{c^{3}+3c+0.5}$

bài 6. a,b,c$\geq$0 $a+b+c=1$ CMR $10(a^{3}+b^{3}+c^{3})-9\left ( a^{5}+b^{5}+c^{5} \right )\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pham Dac Thanh 1998: 26-07-2015 - 09:26

[Hoang Nhat Tuan]

bài 5, a,b,c$\geq$0 $a+b+c=1$ Tìm Min $P=\sqrt{a^{3}+3a+0.5}+\sqrt{b^{3}+3b+0.5}+\sqrt{c^{3}+3c+0.5}$

bài 6. a,b,c$\geq$0 $a+b+c=1$ CMR $10(a^{3}+b^{3}+c^{3})-9\left ( a^{5}+b^{5}+c^{5} \right )\geq 1$

Bài 6: 

TH1: $a,b,c\epsilon \left [ 0,\frac{9}{10} \right ]$

Khi đó dễ dàng chứng minh được: $\sum (10a^3-9a^5)\geq \sum (\frac{25}{9}a-\frac{16}{27})=1$

TH2: Trong 3 số có một số $\geq \frac{9}{10}$, giả sử số đó là $a$

Xét hàm số: $f(a)=10a^3-9a^5$ trên $\left [ \frac{9}{10},1 \right ]$

Có $f'(a)=15a^2(2-3a^2)\leq 0$ với $a\epsilon \left [ \frac{9}{10},1 \right ]$

Do đó $f(a)$ nghịch biến trên $\left [ \frac{9}{10},1 \right ]$

Do đó: $f(a)\geq f(1)=1$

Từ đó suy ra ĐPCM

[SPhuThuyS]

$a,b,c\geqslant 0,a+b+c=2$

$a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+abc\leqslant 1$

[25 minutes]

 

$a,b,c\geqslant 0,a+b+c=2$

$a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+abc\leqslant 1$

 

Đặt $q=ab+bc+ca, abc=r, a+b+c=p=2$

Khi đó $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+abc=q^2-2abc(a+b+c)+r=q^2-3r$

Ta cần chứng minh $q^2-3r\leqslant 1\Leftrightarrow q^2\leqslant 3r+1$

+) Nếu $q<1$ ta có đpcm

+) Xét $q \geqslant 1$

Áp dụng BĐT Schur ta có $r\geqslant \frac{4pq-p^3}{9}=\frac{8q-8}{8}\Rightarrow 1+3r\geqslant 1+\frac{8q-8}{3}$

Ta cần chứng minh $1+\frac{8q-8}{3}\geqslant q^2\Leftrightarrow (q-1)(q-\frac{5}{3})\leqslant 1$

BĐT trên luôn đúng do $q=ab+bc+ca\leqslant \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{4}{3}<\frac{5}{3}$, và $q \geqslant 1$

Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(1;1;0)$ và hoán vị.

[kimchitwinkle]

Bài 7 (B-2008) Cho x, y thay đổi thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=1$ . Tìm min $P=\frac{2\left ( x^{2}+6xy \right )}{1+2xy+2y^{2}}$

[25 minutes]

Bài 7 (B-2008) Cho x, y thay đổi thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=1$ . Tìm min $P=\frac{2\left ( x^{2}+6xy \right )}{1+2xy+2y^{2}}$

Ta có $\frac{P}{2}=Q=\frac{x^2+6xy}{x^2+2xy+3y^2}$

Nếu $y=0$ thì $P=2$

Nếu $y\neq 0\Rightarrow \frac{P}{2}=Q=\frac{t^2+6t}{t^2+2t+3}$

$\Rightarrow (Q-1)t^2+(2Q-6)t+3Q=0$

Nếu $Q=1$ thì $P=2$

Xét $Q \neq 1$, ta phải có $\Delta =(2Q-6)^2-4.3Q(Q-1)\geqslant 0\Leftrightarrow -3\leqslant Q\leqslant \frac{3}{2}\Rightarrow -6\leqslant P\leqslant 3$

Vậy $max_{P}=3, min_{P}=-6$ tại .....

[quan1234]

Bài 8 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+2b-c>0 và $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac+2$.Tìm GTLN của biểu thức: 

P=$\frac{a+c+2}{a(b+c)+a+b+1}-\frac{a+b+1}{(a+c)(a+2b-c)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quan1234: 05-08-2015 - 11:26

[rainbow99]

9. Cho $a,b,c$ là các số thực sao cho tổng bất kì hai số nào trong chúng cũng đều khác 0. Chúng minh rằng: $\frac{a^{5}+b^{5}+c^{5}-(a+b+c)^{5}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}-(a+b+c)^{3}}\geq \frac{10}{9}(a+b+c)^{2}$

10. Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q=\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{9(ab+bc+ca)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

[chukalo]

Cho a, b, c > 0 thỏa ac + b² = 2bc. Tìm min:

 

$P = \frac{2a^{2}+b^{2}}{\sqrt{a^{2}b^{2}-ab^{3}+4b^{4}}} + \frac{2b^{2}+c^{2}}{\sqrt{b^{2}c^{2}-bc^{3}+4c^{4}}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chukalo: 06-08-2015 - 21:52

[naruto01]

Đóng góp 

Cho các số thực x,y thỏa mãn $x^2+4y^2=4$ . Tìm GTNN,GTLN của $A=x^3+4y^3-3xy$

 

[SPhuThuyS]

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn:$a+b+c=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

CM: $ab+bc+ca\geqslant \frac{-1}{8}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SPhuThuyS: 12-08-2015 - 12:36

[quan1234]

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn:$a+b+c=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

CM: $ab+bc+ca\geqslant \frac{-1}{8}$

$a+b+c=a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow (a+b+c)^2-2ab-2ac-2bc=a+b+c\Rightarrow ab+bc+ac=\frac{(a+b+c)^2-(a+b+c)}{2}$

Đặt a+b+c=t, ta có $\frac{t^2-t}{2}\geq -\frac{1}{8}\Leftrightarrow \frac{4t^2-4t+1}{8}\geq 0\Leftrightarrow \frac{(2t-1)^2}{8}\geq 0$ (BĐT luôn đúng)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quan1234: 12-08-2015 - 13:19

[caybutbixanh]

Bài 14: Cho $x^4+16y^4+(2xy+1)^2=2.$ Tìm GTNN,GTLN của $P=x(x^2+3)+2y(4y^2+3)$

[SPhuThuyS]

Cho a,b,c>0.CM:$a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geqslant 2(b+\frac{c}{2}-a)^{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SPhuThuyS: 14-08-2015 - 10:45

[25 minutes]

Cho a,b,c>0.CM:$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\geqslant 2(b+\frac{c}{2}-a)^{3}$

BĐT sai với $a=b=c=1$

[SPhuThuyS]

BĐT sai với $a=b=c=1$

e sửa lại đề rồi

nếu được a làm giúp e 2 bài này luôn:

1.Cho$a\leqslant b\leqslant c$ thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=9$.CM:$1+3abc\geqslant 3a$

2.Cho a,b là các số thực thỏa mãn: $3(a+b)\geqslant 2\left | 1+ab \right |$.CM:$9(a^{3}+b^{3})\geqslant \left | 1+a^{3}b^{3} \right |$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SPhuThuyS: 14-08-2015 - 10:50

[demon311]

1.Cho$a\leqslant b\leqslant c$ thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=9$.CM:$1+3abc\geqslant 3a$

$a$ có $\ge 0$ không bạn

Nếu $a=-1,b=c=2$ thì bđt sai

[Longtunhientoan2k]

$a$ có $\ge 0$ không bạn

Nếu $a=-1,b=c=2$ thì bđt sai

co them dk lon hon o

[Messi10597]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$ .Tìm GTNN của:

$P=\frac{a^{2}}{1+b}+\frac{b^{2}}{1+a}+\frac{4c^{2}}{2+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$