Bài 3: Tùy theo tham số $m,$ tìm GTNN của $P= (x-2y+1)^2+(2x-my+3)^2.$ với $\forall x,y \in \mathbb{R}$
Lời giải :
Xét hai đường thẳng :
$(d_1):x-2y+1=0; (d_2):2x-my+3=0;$
Xét hệ gồm 2 phương trình của 2 đường thẳng trên...
Vậy giá trị của P phụ thuộc vào vị trí tương đối của $(d_1)$ và $(d_2)$
$D=a_1.b_2-a_2.b_1=-m+4;\\$
$D_x=c_1.b_2-c_2.b_1=m-6;\\$
$D_y= a_1.c_2-a_2.c_1=-1;$
Trường hơp 1: $(d_1)$ cắt $(d_2)$ tức $D \neq 0$ hay $m \neq 4$
Khi đó hệ có nghiệm $x=\frac{D_x}{D}=\frac{m-6}{-m+4};$
$y=\frac{D_y}{D}=\frac{-1}{-m+4};$
Do đó GTNN P =0;
Trường hơp 2: $D=0$ hay $m=4$; Với m=4 thì $D_x=-2 \neq 0$ nên hệ vô nghiệm . Suy ra $d_1$ song song $d_2$
Đặt $t= x-2y+1$, P trở thành $P= t^2+(2t+1)^2=5(t+\frac{2}{5})^2+\frac{1}{5} \geq \frac{1}{5}$
Dấu bằng xảy ra khi $t=\frac{-2}{5}$ hay $5x-10y+7=0$
Kết luận :
+,$m \neq 4$ thì $min P=0$ khi $x=\frac{D_x}{D}=\frac{m-6}{-m+4} ,y=\frac{D_y}{D}=\frac{-1}{-m+4};$
+, $m=4$ thì $min P=\frac{1}{5}$ khi x,y thuộc đường thẳng $5x-10y+7=0$