Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bất đẳng thức chuẩn bị cho kì thi THPTQG 2015-2016


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 389 trả lời

#21 daicahuyvn

daicahuyvn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN

Đã gửi 15-08-2013 - 16:27

Bài 13

Cho $a\geqslant b\geqslant c>0$ tìm GTNN của:

P=$\frac{(3ab+bc)^{2}}{b^{4}}+\frac{121b^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+8ac}$

$x=\frac{a}{b},y=\frac{c}{b}, x\ge 1 \ge y$

$P=(3x+y)^2+\frac{121}{x^2+y^2+8xy+1}$

$x^2+y^2+8xy+1=t; (3x+y)^2=6x^2+x^2+2x^2+6xy+y^2\ge 6+x^2+8xy+y^2=t+5$

$P\ge t+5+\frac{121}{t}=f(t)$

$f(t)\ge 27\Leftrightarrow (t-11)^2=0$

$P=27\Leftrightarrow a=b=c$

$\min P=27$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daicahuyvn: 15-08-2013 - 16:45


#22 hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đắk Lắk
  • Sở thích:Đá bóng,cầu lông,toán,....

Đã gửi 17-08-2013 - 19:20

Bài 14:Cho số thực $x,y,z$ thuộc đoạn $[0;2]$ và thỏa mãn $x+y+z=3$.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx$


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#23 hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đắk Lắk
  • Sở thích:Đá bóng,cầu lông,toán,....

Đã gửi 17-08-2013 - 19:23

Bài 15:Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^{2}}{x+y^{2}}+\frac{y^{2}}{y+z^{2}}+\frac{z^{2}}{z+x^{2}}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hihi2zz: 17-08-2013 - 19:24

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#24 hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đắk Lắk
  • Sở thích:Đá bóng,cầu lông,toán,....

Đã gửi 17-08-2013 - 19:27

Bài 16:Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) \leq 6$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}$.


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#25 hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đắk Lắk
  • Sở thích:Đá bóng,cầu lông,toán,....

Đã gửi 17-08-2013 - 19:30

Bài 17:Cho các số thực dương $a,b$ thỏa mãn $ab+a+b=3$.

Chứng minh rằng: $\frac{3a}{b+1}+\frac{3b}{a+1}+\frac{ab}{a+b} \leq a^{2}+b^{2}+\frac{3}{2} $.


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#26 hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đắk Lắk
  • Sở thích:Đá bóng,cầu lông,toán,....

Đã gửi 17-08-2013 - 19:41

Bài 18:Cho các số thực dương $a,b$ thỏa mãn $ab+a+b=3$.

Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{4a}{b+1}+\frac{4b}{a+1}+2ab-\sqrt{7-3ab}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hihi2zz: 17-08-2013 - 19:42

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#27 trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN - ĐHBKHN

Đã gửi 17-08-2013 - 19:42

Bài 15:Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^{2}}{x+y^{2}}+\frac{y^{2}}{y+z^{2}}+\frac{z^{2}}{z+x^{2}}$.

 

Ta có:

 

$\frac{x^2}{x+y^2}=x-\frac{xy^2}{x+y^2}\geq x-\frac{xy^2}{2\sqrt{x}y}=x-\frac{y\sqrt{x}}{2}$$y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}\leq \sqrt{(x+y+z)(xy+yz+zx)}\leq\sqrt{(x+y+z)^2}=3$

 

Tương tự ta có: $\frac{y^2}{y+z^2}\geq y-\frac{z\sqrt{y}}{2}$

 

                         $\frac{z^2}{z+x^2}\geq z-\frac{x\sqrt{z}}{2}$

 

Cộng vế với vế ta có: $P\geq x+y+z-\frac{y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}}{2}=3-\frac{y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}}{2}$

 

Áp dụng bất đẳng thức Buniakovsky ta có:

 

$y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}\leq \sqrt{(x+y+z)(xy+yz+zx)}\leq \sqrt{(x+y+z)^2}=3$

 

Vậy $minP= \frac{3}{2}$ khi và chỉ khi $x=y=z=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 09-06-2014 - 10:02


#28 hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đắk Lắk
  • Sở thích:Đá bóng,cầu lông,toán,....

Đã gửi 17-08-2013 - 19:46

Bài 19: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^{3}}+4x-2)}+\frac{4y}{z(2\sqrt{1+8z^{3}}+4y-2)}+\frac{4z}{x(2\sqrt{1+8x^{3}}+4z-2)}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hihi2zz: 17-08-2013 - 19:49

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#29 hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đắk Lắk
  • Sở thích:Đá bóng,cầu lông,toán,....

Đã gửi 17-08-2013 - 19:53

Bài 20: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z \leq 3$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P= \frac{2}{x^{3}}+ \frac{2}{y^{3}}$+ $\frac{2}{z^{3}}+ \frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}}$+ $\frac{1}{y^{2}-yz+z^{2}}$

+ $\frac{1}{z^{2}-zx+x^{2}} $.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hihi2zz: 21-08-2013 - 11:33

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#30 trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN - ĐHBKHN

Đã gửi 17-08-2013 - 19:54

Bài 18:Cho các số thực dương $a,b$ thỏa mãn $ab+a+b=3$.

Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{4a}{b+1}+\frac{4b}{a+1}+2ab-\sqrt{7-3ab}$

 

Xem tại đây



#31 trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN - ĐHBKHN

Đã gửi 17-08-2013 - 20:07

Bài 17:Cho các số thực dương $a,b$ thỏa mãn $ab+a+b=3$.

Chứng minh rằng: $\frac{3a}{b+1}+\frac{3b}{a+1}+\frac{ab}{a+b} \leq a^{2}+b^{2}+\frac{3}{2} $.

 

Từ giả thiết suy ra: $(a+1)(b+1)=4$

 

Khi đó: $VT=\frac{3a(a+1)+3b(b+1)}{4}+\frac{ab}{a+b}\leq \frac{3a^2+3b^2}{4}+a+b$

 

Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:

 

$3a^2+3b^2+4(a+b)\leq 4(a^2+b^2)+6\Leftrightarrow 4(a+b)\leq a^2+b^2+2(ab+a+b)$

 

hay $2(a+b)\leq (a+b)^2\Leftrightarrow (a+b)(a+b-2)\geq0$            $(1)$

 

Mặt khác, từ giả thiết có: $6=2ab+2a+2b\leq 2ab+a^2+1+b^2+1\Leftrightarrow 2\leq a+b$

 

Do đó $(1)$ đúng, vậy bất đẳng thức được chứng minh



#32 daicahuyvn

daicahuyvn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN

Đã gửi 18-08-2013 - 14:08

Bài 14:Cho số thực $x,y,z$ thuộc đoạn $[0;2]$ và thỏa mãn $x+y+z=3$.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx$

$y= \min \left \{ x,y,z \right \},y\le 1$

$0\le z=3-x-y\le 2 \Rightarrow 1\le x+y\le 3\Rightarrow 1-y\le x\le 3-y$

$P=(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)=9-3(xy+yz+zx)$

$-(xy+yz+zx)=-x(y+z)-y(3-x-y)=(x^2+y^2)-3(x+y)+xy=x^2+(y-3)x+y^2-3y=f(x)$

$1-y\le x\le 2\Rightarrow f(x)\le \max \left\{f(1-y),f(2)\right\}=-y^2+y+2=y(1-y)+2\ge 2$

$f(x)=-(x+\frac{y-3}{2})^2-\frac{3(y-1)^2}{4}+3 \le 3$

$0\le P\le 3$;$P(1,1,1)=0,P(2,1,0)=3$

$\min P=0;\max P=3$



#33 daicahuyvn

daicahuyvn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN

Đã gửi 18-08-2013 - 20:31

Bài 19: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^{3}}+4x-2)}+\frac{4y}{z(2\sqrt{1+8z^{3}}+4y-2)}+\frac{4z}{x(2\sqrt{1+8x^{3}}+4z-2)}$

$\sqrt{1+8y^3}=\sqrt{(1+2y)(4y^2-2y+1)}\le 2y^2+1\Rightarrow \frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^2}+4x-2)}\ge \frac{x}{y(y^2+x)}=\frac{1}{y}-\frac{y}{y^2+x}\ge \frac{1}{y}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$P\ge \sum (\frac{1}{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}})=\sum (\frac{1}{\sqrt{x}}-1)^2+\frac{3}{2}\sum \frac{1}{\sqrt{x}}-3$

$\sum \frac{1}{\sqrt{x}}\ge \frac{9}{\sum \sqrt{x}}\ge \frac{9}{3\sqrt{\frac{x+y+z}{3}}}=3$

$P\ge \frac{3}{2}; P=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1$

$\min P=\frac{3}{2}$



#34 phanquockhanh

phanquockhanh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Phan Ngọc Hiển
  • Sở thích:Toán học và cuộc sống

Đã gửi 18-08-2013 - 21:10

Bài 21: Cho $a,b,c $ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$.Tìm min của biểu thức:

$P=\dfrac{1}{2a+1}+\dfrac{1}{2b+1}+\dfrac{2}{(2c+1)\sqrt{6c+3}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 18-08-2013 - 21:11


#35 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 19-08-2013 - 12:31

Bài 16:Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) \leq 6$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}$.

Từ giả thiết ta có $x^2+y^2+z^2 \leqslant 6+x+y+z$

Áp dụng AM-GM ta có $x^2+y^2+z^2\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{3}\Rightarrow 6+x+y+z\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{3}$

          $\Rightarrow x+y+z\leqslant 6$

$\frac{1}{1+x+y}+\frac{1}{1+y+z}+\frac{1}{1+z+x}\geqslant \frac{9}{3+2(x+y+z)}\geqslant \frac{3}{5}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=2$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#36 daicahuyvn

daicahuyvn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN

Đã gửi 19-08-2013 - 13:45

 

Bài 21: Cho $a,b,c $ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$.Tìm min của biểu thức:

$P=\dfrac{1}{2a+1}+\dfrac{1}{2b+1}+\dfrac{2}{(2c+1)\sqrt{6c+3}}$

 

TH1:$c\le 4 \Rightarrow 4ab\ge 1$

$P\ge \frac{1}{2+a^2}+\frac{1}{2+b^2}+\frac{2}{(2c+1)\sqrt{6c+3}}\ge \frac{2}{2+ab}+\frac{2}{(2c+1)\sqrt{6c+3}}=\frac{2(c\sqrt{6c+3}+1)}{(2c+1)\sqrt{6c+3}}=f(c)$

$f(c)\ge \frac{8}{9}\Leftrightarrow (4-c)\sqrt{6c+3}\le 9 \Leftrightarrow (c-1)^2(6c-33)\le 0 $

 

TH2: $c\ge 4 \Rightarrow 4ab\le 1 \Rightarrow \frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}\ge 1>\frac{8}{9}$

 

$P=\frac{8}{9}\Leftrightarrow a=b=c=1$

$\min P=\frac{8}{9}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daicahuyvn: 19-08-2013 - 15:33


#37 Alexman113

Alexman113

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-08-2013 - 22:51

Bài 22. Cho $a,\,b,\,c>0$ và $a+b+c=3.$ Tìm giá trị lớn nhất của: $$P=\dfrac{2}{3+ab+bc+ca}+\dfrac{\sqrt[3]{abc}}{1+\sqrt[3]{abc}}$$


KK09XI~ Nothing fails like succcess ~

#38 Alexman113

Alexman113

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-08-2013 - 22:54

Bài 23. Cho $a,\,b,\,c\geq0$ và $a+b+c=1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $$P=3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+3\left(ab+bc+ca\right)+2\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$


KK09XI~ Nothing fails like succcess ~

#39 Alexman113

Alexman113

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-08-2013 - 23:02

Bài 24. Cho các số thực $x,\,y$ thỏa $\left(x-4\right)^2+\left(y-4\right)^2+2xy\leq32.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $$P=x^3+y^3+3\left(xy-1\right)\left(x+y-2\right)$$


KK09XI~ Nothing fails like succcess ~

#40 Alexman113

Alexman113

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-08-2013 - 23:09

Bài 25. Cho các số thực $x,\,y,\,z$ thỏa $\left\{ \begin{array}{l}x+y+z=0 \\x^2+y^2+z^2=1 \end{array} \right..$ Tìm giá trị lớn nhất của: $$P=x^5+y^5+z^5$$


KK09XI~ Nothing fails like succcess ~




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh