Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bất đẳng thức chuẩn bị cho kì thi THPTQG 2015-2016


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 389 trả lời

#381 caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 02-05-2016 - 22:18

Cho các số thực x,y,z $\in$ $\left [ 0;1 \right ]$ .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

P= $\frac{x^{3}+2}{y^{2}+1}+\frac{y^{3}+2}{z^{2}+1}+\frac{z^{3}+2}{x^{2}+1}$

Cuối cùng sau bao gian nan, tìm tòi, hỏi thầy hỏi bạn  cuối cùng cũng có lời giải bài này :

Lời giải:

từ giả thiết suy ra $x^3 \leq x^2$ do vậy ( để đồng bậc ):$\frac{x^3+2}{y^2+1} \leq \frac{x^2+2}{y^2+1}$ ( Dấu "=" xảy ra khi x=0 hoặc x=1)

Mà $(x^2+2)\frac{1+y^2-y^2}{y^2+1}=(x^2+2).(1-\frac{y^2}{y^2+1}) \leq (x^2+2).(1-\frac{y^2}{2}) (y \leq 1\Rightarrow y^2 \leq 1)$

Suy ra :$\frac{x^3+2}{y^2+1} \leq (x^2+2)(1-\frac{y^2}{2})=x^2+2-y^2-\frac{x^2y^2}{2}.$

( Dấu "=" xảy ra khi y=0 hoặc y=1)

Thiết lập tương tự, ta có :

$\frac{y^3+2}{z^2+1} \leq (y^2+2)(1-\frac{z^2}{2})=y^2+2-z^2-\frac{y^2z^2}{2} \\$
$\frac{z^3+2}{x^2+1} \leq (z^2+2)(1-\frac{x^2}{2})=z^2+2-x^2-\frac{x^2z^2}{2} \\$
Do đó :$P \leq 6-\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{2} \leq 6$ ("=" khi $x=y=z=0$)
GTLN P =6 khi $x=y=z=0$ ( Kết hợp tất cả các dấu bằng của các đánh giá )

KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#382 pndpnd

pndpnd

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-05-2016 - 20:17

Cho $x,y,z>0$ và $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm GTNN:

$P= \sqrt{\frac{3}{(x+y)^2}+z^2}+\sqrt{\frac{3}{(y+z)^2}+x^2}+\sqrt{\frac{3}{(x+z)^2}+y^2}$



#383 Trung007

Trung007

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 06-05-2016 - 00:23

Tình cờ lục lọi mấy bài toán, lại có ở đây http://diendantoanho...acadbbda-geq-4/

Bài này làm sao mình phân tích P được như vậy? Mình cảm ơn



#384 quangtq1998

quangtq1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 192 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 06-05-2016 - 21:34

Bài này làm sao mình phân tích P được như vậy? Mình cảm ơn

Bài này chắc là điều kiện $ a,b,c \ge 0 $ nhưng mà với cách đặt như vậy ta có :
$x+y+z =1$

$ x^2 +y^2+z^2=2(xy+yz+zx)$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y} +\sqrt{z} )(\sqrt{x}+\sqrt{z} -\sqrt{y} ) (\sqrt{z}+\sqrt{y} -\sqrt{x} ) (\sqrt{x}+\sqrt{y} -\sqrt{z} )=0 $
Giả sửa a là số lớn nhất hoặc x là số lớn nhất nên ta có : $\sqrt{x} = \sqrt{y}+\sqrt{z} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 07-05-2016 - 21:35


#385 ThoiGianHMU

ThoiGianHMU

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Đã gửi 06-06-2016 - 23:33

Cho $x,y$ là hai số thực thoả mãn điều kiện $(x+y)^{3}+4xy \geq 2$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=3(x^{2} +y^{2})^{2}-2(x+y)^{2}-xy(3xy-4)+2016$



#386 caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 07-06-2016 - 12:59

Cho $x,y$ là hai số thực thoả mãn điều kiện $(x+y)^{3}+4xy \geq 2$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=3(x^{2} +y^{2})^{2}-2(x+y)^{2}-xy(3xy-4)+2016$

Lời giải :

Ta có :$(x+y)^3+(x+y)^2 \geq (x+y)^3+4xy \geq 2 \Leftrightarrow (x+y-1)((x+y)^2+2(x+y)+2) \geq 0 \Leftrightarrow x+y \geq 1$

Đặt $t=x+y$. khi đó:

$P \geq \frac{3}{4}.(x+y)^4-2(x+y)^2-\frac{(x+y)^2}{4}.(\frac{3(x+y)^2}{4}-4)+2016=\frac{9}{16}.(x+y)^4-(x+y)^2+2016=\frac{9}{16}t^4-t^2+2016=f(t)$

Xét $f(t)$  với $t \geq 1$ ta được $P \geq f(1)=\frac{32249}{16}.$ Dấu bằng xảy ra $x=y=\frac{1}{2}$


KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#387 ThoiGianHMU

ThoiGianHMU

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Đã gửi 07-06-2016 - 23:34

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa mãn $abc=1$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{ab+\sqrt{a^{4}+4b^{2}a^{2}}}{3b^{2}+a^{2}}+\frac{bc+\sqrt{b^{4}+4b^{2}.c^{2}}}{3c^{2}+a^{2}}$



#388 cristianoronaldo

cristianoronaldo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sông Lô-Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Toán học, bóng đá,...

Đã gửi 09-06-2016 - 09:31

Cho x,y,z dương thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh:

$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq x^2+y^2+z^2$

 

Với a,b là các số thực dương thì ta có:

$a^2+b^2=\frac{2ab(a^2+b^2)}{2ab}\leq \frac{(\frac{a^2+b^2+2ab}{2})^2}{2ab}= \frac{(a+b)^4}{8ab}$

Sử dụng kết quả này ta được:

$x^2+z^2\leq \frac{(x+z)^4}{8xz}=\frac{(x+z)^4y}{8xyz}\leq \frac{(x+z)^4(y+1)^2}{32xyz}$

Tương tự :

$y^2+1\leq \frac{(y+1)^4(x+z)^2}{32xyz}$

$\Rightarrow \sum x^2+1\leq \frac{(x+z)^2(y+1)^2[(x+z)^2+(y+1)^2]}{32xyz}$

Mặt khác ta có:

$(x+z)(y+1)[(x+z)^2+(y+1)^2]\leq \frac{(\sum x+1)^2}{8}= 32$

Như vậy ta có:

$\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\geq \frac{(x+z)^2(y+1)^2[(x+z)^2+(y+1)^2]}{32xyz}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{x^2}+1\geq \sum a^2+1 \Rightarrow Q.E.D$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 09-06-2016 - 09:32

Nothing in your eyes


#389 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1753 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 16-06-2016 - 06:17

Cho x,y,z dương thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh:

$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq x^2+y^2+z^2$

Nếu hai trong ba số lớn hơn $1+\sqrt{2}$=> Vô lí.

Xét trường hợp chỉ có 1 số lớn hơn $1+\sqrt{2}$.

KMTTQ, giả sử là $x=>x>1+\sqrt{2}=>y+z<2-\sqrt{2}=>yz\le \frac{(2-\sqrt{2})^2}{4}$.

Suy ra $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\ge \frac{2}{xy}>23>9=(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)>x^2+y^2+z^2(TRUE)$.

Xét cả trường hợp cả ba số đều nhỏ hơn $1+\sqrt{2}$.

Khi đó biểu thức cần chứng minh tương đương:

$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}-x^2-y^2-z^2\ge 0(1)$.

Nhận xét: ta có: $\frac{1}{a^2}-a^2\ge -4a+4,\forall a\in (0,1+\sqrt{2})$

$\iff (a-1)^2(a-1-\sqrt{2})(a-1+\sqrt{2})\le 0(TRUE)$.

Do đó ta có: $f(x)+f(y)+f(z)\ge -4x+4-4y+4-4z+4=0(dpcm)$.

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 16-06-2016 - 06:23

Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến

Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che


#390 beatalltheothers

beatalltheothers

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 23-09-2017 - 15:52

Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c + ab + bc + ca = 3 .
Chứng minh :    2<= a + b + c + abc <= 3






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh