Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bất đẳng thức chuẩn bị cho kì thi THPTQG 2015-2016


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 389 trả lời

#381 caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 02-05-2016 - 22:18

Cho các số thực x,y,z $\in$ $\left [ 0;1 \right ]$ .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

P= $\frac{x^{3}+2}{y^{2}+1}+\frac{y^{3}+2}{z^{2}+1}+\frac{z^{3}+2}{x^{2}+1}$

Cuối cùng sau bao gian nan, tìm tòi, hỏi thầy hỏi bạn  cuối cùng cũng có lời giải bài này :

Lời giải:

từ giả thiết suy ra $x^3 \leq x^2$ do vậy ( để đồng bậc ):$\frac{x^3+2}{y^2+1} \leq \frac{x^2+2}{y^2+1}$ ( Dấu "=" xảy ra khi x=0 hoặc x=1)

Mà $(x^2+2)\frac{1+y^2-y^2}{y^2+1}=(x^2+2).(1-\frac{y^2}{y^2+1}) \leq (x^2+2).(1-\frac{y^2}{2}) (y \leq 1\Rightarrow y^2 \leq 1)$

Suy ra :$\frac{x^3+2}{y^2+1} \leq (x^2+2)(1-\frac{y^2}{2})=x^2+2-y^2-\frac{x^2y^2}{2}.$

( Dấu "=" xảy ra khi y=0 hoặc y=1)

Thiết lập tương tự, ta có :

$\frac{y^3+2}{z^2+1} \leq (y^2+2)(1-\frac{z^2}{2})=y^2+2-z^2-\frac{y^2z^2}{2} \\$
$\frac{z^3+2}{x^2+1} \leq (z^2+2)(1-\frac{x^2}{2})=z^2+2-x^2-\frac{x^2z^2}{2} \\$
Do đó :$P \leq 6-\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{2} \leq 6$ ("=" khi $x=y=z=0$)
GTLN P =6 khi $x=y=z=0$ ( Kết hợp tất cả các dấu bằng của các đánh giá )

KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#382 pndpnd

pndpnd

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-05-2016 - 20:17

Cho $x,y,z>0$ và $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm GTNN:

$P= \sqrt{\frac{3}{(x+y)^2}+z^2}+\sqrt{\frac{3}{(y+z)^2}+x^2}+\sqrt{\frac{3}{(x+z)^2}+y^2}$



#383 Trung007

Trung007

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 06-05-2016 - 00:23

Tình cờ lục lọi mấy bài toán, lại có ở đây http://diendantoanho...acadbbda-geq-4/

Bài này làm sao mình phân tích P được như vậy? Mình cảm ơn



#384 quangtq1998

quangtq1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 192 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 06-05-2016 - 21:34

Bài này làm sao mình phân tích P được như vậy? Mình cảm ơn

Bài này chắc là điều kiện $ a,b,c \ge 0 $ nhưng mà với cách đặt như vậy ta có :
$x+y+z =1$

$ x^2 +y^2+z^2=2(xy+yz+zx)$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y} +\sqrt{z} )(\sqrt{x}+\sqrt{z} -\sqrt{y} ) (\sqrt{z}+\sqrt{y} -\sqrt{x} ) (\sqrt{x}+\sqrt{y} -\sqrt{z} )=0 $
Giả sửa a là số lớn nhất hoặc x là số lớn nhất nên ta có : $\sqrt{x} = \sqrt{y}+\sqrt{z} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 07-05-2016 - 21:35


#385 ThoiGianHMU

ThoiGianHMU

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Đã gửi 06-06-2016 - 23:33

Cho $x,y$ là hai số thực thoả mãn điều kiện $(x+y)^{3}+4xy \geq 2$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=3(x^{2} +y^{2})^{2}-2(x+y)^{2}-xy(3xy-4)+2016$



#386 caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 07-06-2016 - 12:59

Cho $x,y$ là hai số thực thoả mãn điều kiện $(x+y)^{3}+4xy \geq 2$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=3(x^{2} +y^{2})^{2}-2(x+y)^{2}-xy(3xy-4)+2016$

Lời giải :

Ta có :$(x+y)^3+(x+y)^2 \geq (x+y)^3+4xy \geq 2 \Leftrightarrow (x+y-1)((x+y)^2+2(x+y)+2) \geq 0 \Leftrightarrow x+y \geq 1$

Đặt $t=x+y$. khi đó:

$P \geq \frac{3}{4}.(x+y)^4-2(x+y)^2-\frac{(x+y)^2}{4}.(\frac{3(x+y)^2}{4}-4)+2016=\frac{9}{16}.(x+y)^4-(x+y)^2+2016=\frac{9}{16}t^4-t^2+2016=f(t)$

Xét $f(t)$  với $t \geq 1$ ta được $P \geq f(1)=\frac{32249}{16}.$ Dấu bằng xảy ra $x=y=\frac{1}{2}$


KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#387 ThoiGianHMU

ThoiGianHMU

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Đã gửi 07-06-2016 - 23:34

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa mãn $abc=1$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{ab+\sqrt{a^{4}+4b^{2}a^{2}}}{3b^{2}+a^{2}}+\frac{bc+\sqrt{b^{4}+4b^{2}.c^{2}}}{3c^{2}+a^{2}}$



#388 cristianoronaldo

cristianoronaldo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sông Lô-Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Toán học, bóng đá,...

Đã gửi 09-06-2016 - 09:31

Cho x,y,z dương thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh:

$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq x^2+y^2+z^2$

 

Với a,b là các số thực dương thì ta có:

$a^2+b^2=\frac{2ab(a^2+b^2)}{2ab}\leq \frac{(\frac{a^2+b^2+2ab}{2})^2}{2ab}= \frac{(a+b)^4}{8ab}$

Sử dụng kết quả này ta được:

$x^2+z^2\leq \frac{(x+z)^4}{8xz}=\frac{(x+z)^4y}{8xyz}\leq \frac{(x+z)^4(y+1)^2}{32xyz}$

Tương tự :

$y^2+1\leq \frac{(y+1)^4(x+z)^2}{32xyz}$

$\Rightarrow \sum x^2+1\leq \frac{(x+z)^2(y+1)^2[(x+z)^2+(y+1)^2]}{32xyz}$

Mặt khác ta có:

$(x+z)(y+1)[(x+z)^2+(y+1)^2]\leq \frac{(\sum x+1)^2}{8}= 32$

Như vậy ta có:

$\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\geq \frac{(x+z)^2(y+1)^2[(x+z)^2+(y+1)^2]}{32xyz}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{x^2}+1\geq \sum a^2+1 \Rightarrow Q.E.D$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 09-06-2016 - 09:32

Nothing in your eyes


#389 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1647 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 16-06-2016 - 06:17

Cho x,y,z dương thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh:

$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq x^2+y^2+z^2$

Nếu hai trong ba số lớn hơn $1+\sqrt{2}$=> Vô lí.

Xét trường hợp chỉ có 1 số lớn hơn $1+\sqrt{2}$.

KMTTQ, giả sử là $x=>x>1+\sqrt{2}=>y+z<2-\sqrt{2}=>yz\le \frac{(2-\sqrt{2})^2}{4}$.

Suy ra $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\ge \frac{2}{xy}>23>9=(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)>x^2+y^2+z^2(TRUE)$.

Xét cả trường hợp cả ba số đều nhỏ hơn $1+\sqrt{2}$.

Khi đó biểu thức cần chứng minh tương đương:

$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}-x^2-y^2-z^2\ge 0(1)$.

Nhận xét: ta có: $\frac{1}{a^2}-a^2\ge -4a+4,\forall a\in (0,1+\sqrt{2})$

$\iff (a-1)^2(a-1-\sqrt{2})(a-1+\sqrt{2})\le 0(TRUE)$.

Do đó ta có: $f(x)+f(y)+f(z)\ge -4x+4-4y+4-4z+4=0(dpcm)$.

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 16-06-2016 - 06:23

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#390 beatalltheothers

beatalltheothers

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 23-09-2017 - 15:52

Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c + ab + bc + ca = 3 .
Chứng minh :    2<= a + b + c + abc <= 3






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh