Chủ đề này có 389 trả lời

[25 minutes]

59. Cho $a,b,c >0$ và $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}=\frac{ab+bc+ca+1}{2}$

Tìm GTLN của $P=\sqrt{a^2+b^2+c^2}-\frac{\left | a-b \right |+\left | b-c \right |+\left | c-a \right |}{2}$

                                                              -------Yêu Toán Học-------

[pqqsang]

Bài 60

Tìm GTLN của: 

P=$\sqrt[6]{(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)}(3+4\sqrt[3]{(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)})-(x^4+y^4+z^4)-\sqrt{x(1-x)}\sqrt{y(1-y)}\sqrt{z(1-z)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pqqsang: 02-09-2013 - 07:48

[pqqsang]

Bài 61

Cho a>0 và b>0

$S=\sqrt{a}+\sqrt{b};P=\sqrt{ab}$

Tìm GTLN của

$A=\frac{32(4S^{4}-6P)-3(2\sqrt{2S^{2}-4P}+S^{2})^{2}}{4S^{2}P}$

[pqqsang]

Bài 62

Cho a,b,c>0. Tìm GTLN của:

S=$2abc(a+b+c)-a^{2}(1+2a)-b^{2}(1+b^{4})-c^{2}(1+c^{4})-\frac{9}{\sqrt[3]{3(a+b+c)^{2}}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pqqsang: 02-09-2013 - 08:15

[sieu dao chich]

BÀI 63

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn$1\leq a,b,c \leq 4$ và $a+b+2c=8$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$$P=a^3+b^3+5c^3$$

 

[hihi2zz]

Bài 64:Cho $k>0;a,b,c \geq 0$ và $a+b+c=3.$Chứng minh:

$(ab)^{k}+(bc)^{k}+(ca)^{k} \leq$ max${3;(\frac{3}{2})^{k}}$.

Bài 65:Cho $k>0;a,b,c \geq 0$ và chỉ có nhiều nhất một số bằng $0.$Chứng minh:

$(\frac{a}{b+c})^{k}+(\frac{b}{c+a})^{k}+(\frac{c}{a+b})^{k}$$\geq$min${2;\frac{3}{2^{k}}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hihi2zz: 04-09-2013 - 15:01

[25 minutes]

Bài 64:Cho $k>0;a,b,c \geq 0$ và $a+b+c=3.$Chứng minh:

$(ab)^{k}+(bc)^{k}+(ca)^{k} \leq$ max${3;(\frac{3}{2})^{k}}$.

Bài 65:Cho $k>0;a,b,c \geq 0$ và chỉ có nhiều nhất một số bằng $0.$Chứng minh:

$(\frac{a}{b+c})^{k}+(\frac{b}{c+a})^{k}+(\frac{c}{a+b})^{k}$$\geq$min${2;\frac{3}{2^{k}}}$

Những bài tập như thế này bạn có thể tìm thấy ở đây và chú ý Topic lập ra để yêu câu những bài ở mức độ thi ĐH

[hoangmac]

BÀI 63

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn$1\leq a,b,c \leq 4$ và $a+b+2c=8$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$$P=a^3+b^3+5c^3$$

Ta có: $(a-1)(b-1)\geq 0 \Leftrightarrow ab\geq a+b-1=7-2c$

$P=(a+b)^3-3ab(a+b)+5c^3\leq(8-2c)^3-3(7-2c)(8-2c)+5c^3=f(c) (c\in [1;3])$

Khảo sát hàm $f(c)$ được $P_{max}=137$ khi $a=b=1, c=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmac: 07-09-2013 - 18:42

[conan98md]

 

Bài 5: 

Cho $x,y,z$ là nghiệm của hệ 2 phương trình:

$x^2  + xy + y^2  = 3 $ và $y^2  + yz + z^2  = 16 $

 

Tìm max của: $P=xy + yz + zx$

 

từ gt $\Rightarrow$ 48=$(x^{2}+xy+y^{2})(y^{2}+yz+z^{2})$

 

=$((x+\frac{y}{2})^{2}+\frac{3x}{4})$$(\frac{3z}{4}+(y+\frac{z}{2})^{2})$

 

áp dụng BDT Cauchy-Schwarz

 

$\Rightarrow$ 48 $\geq$ $(\frac{\sqrt{3}z}{2}(\frac{x}{2}+y)+\frac{\sqrt{3}x}{2}(y+\frac{z}{2}))^{2}$

 

$\Rightarrow$ 48 $\geq$ $\frac{3}{4}(xy+yz+xz)^{2}$

 

$\Rightarrow$  P $\leq$  8   

[25 minutes]

Lâu lâu Topic không hoạt động rồi

Bài 66 : Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=1$

Tìm GTNN của $P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{\sqrt{abc}}$

[xxSneezixx]

Bài 67: Cho $x, y \in \mathbb{R} $ sao cho $x+y -1= \sqrt{2x -4}+ \sqrt{y+1}$. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$S= \left(x+y \right )^{2}-\sqrt{9-x-y}+\frac{1}{\sqrt{x+y}}$$

[25 minutes]

Bài 67: Cho $x, y \in \mathbb{R} $ sao cho $x+y -1= \sqrt{2x -4}+ \sqrt{y+1}$. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$S= \left(x+y \right )^{2}-\sqrt{9-x-y}+\frac{1}{\sqrt{x+y}}$$

Tham khảo tại đây

[Near Deilarter]

Bài 68 Cho a,b,c là những số thực dương thoả mãn abc = 1. Chứng minh

$\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\leqslant 1$

 

Bài 69: Cho x,y,z$\not\equiv$0 thoả mãn $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{4}{y}-\frac{2}{x}$. Tìm GTLN, GTNN

$T=x^2+y^2-x+3y$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 07-10-2013 - 00:13

[25 minutes]

1) Cho a,b,c là những số thực dương thoả mãn abc = 1. Chứng minh

$\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\leqslant 1$

Đặt $a=x^3,b=y^3,x=z^3$$\Rightarrow xyz=1$

Ta có $\frac{1}{a+b+1}=\frac{1}{x^3+y^3+xyz}\leqslant \frac{1}{xy(x+y)+xyz}=\frac{1}{xy(x+y+z)}=\frac{z}{x+y+z}$

Tương tự ta có $\frac{1}{b+c+1}\leqslant \frac{x}{x+y+z}$

                         $\frac{1}{a+c+1}\leqslant \frac{y}{x+y+z}$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

[badboykmhd123456]

file để mọi người tiện download  Bất đẳng thức ôn thi Đại học 2014 - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học.pdf   2.77MB   1343 Số lần tải

[Near Deilarter]

Bài 70 : Cho x,y,z là những số thực dương thoả mãn: xy + yz + zx = xyz. Chứng minh

$\frac{x^2}{x+yz}+\frac{y^2}{y+zx}+\frac{z^2}{z+xy}\geqslant \frac{x+y+z}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 07-10-2013 - 00:13

[Near Deilarter]

Cho x,y,z là những số thực dương thoả mãn: xy + yz + zx = xyz. Chứng minh

$\frac{x^2}{x+yz}+\frac{y^2}{y+zx}+\frac{z^2}{z+xy}\geqslant \frac{x+y+z}{4}$

Ta có: $\frac{x^2}{x+yz}=\frac{x^3}{(x+y)(x+z)}$

Áp dụng AM-GM:

$\frac{x^3}{(x+y)(x+z)}+\frac{x+y}{8}+\frac{x+z}{8}\geq \frac{3x}{4}$

$\frac{y^3}{(y+x)(y+z)}+\frac{y+x}{8}+\frac{y+z}{8}\geq \frac{3y}{4}$

$\frac{z^3}{(z+x)(z+y)}+\frac{z+x}{8}+\frac{z+y}{8}\geq \frac{3z}{4}$

Cộng hết lại ta được đpcm

Dấu '=' xảy ra khi x=y=z=3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Near Deilarter: 02-10-2013 - 22:44

[25 minutes]

Bài 71 : Cho $a,b,c \geqslant 0$ và $a^2+b^2+c^2=3$

Tìm GTNN của $P=\frac{16}{\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+1}}+\frac{ab+bc+ca+1}{a+b+c}$

[Near Deilarter]

Bài 72 : Cho x,y,z là những số thực dương thỏa mãn $x^2+y^2+z^2$ $\leq$ $xyz$. Tìm GTLN của :

A = $\frac{x}{x^2+yz}+\frac{y}{y^2+zx}+\frac{z}{z^2+xy}$

 

P/S: Bạn nhớ ghi số bài vào nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 12-10-2013 - 18:41

[daicahuyvn]

$a=\sqrt{\frac{x}{yz}}$

$x^2+y^2+z^2\le xyz \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le 1$

$A=\sum \frac{a^2bc}{a^2+bc}=\sum(bc-\frac{b^2c^2}{a^2+bc})\le ab+bc+ca-\frac{(ab+bc+ca)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}$

$x=ab+bc+ca(0\le x\le 1)$

$A\le x-\frac{x^2}{1+x}=1-\frac{1}{1+x}\le \frac{1}{2}$

$x=y=z=3, A=\frac{1}{2}$

$\max A=\frac{1}{2}$