Chủ đề này có 389 trả lời

[25 minutes]

Bài 12:  Cho ba số thực dương a, b, c thỏa: 

$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2} + \frac{b^3}{b^2+bc+c^2} + \frac{c^3}{c^2 +ac +a^2} =1$

   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  S  = a + b + c

Ta sẽ chứng minh $1=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geqslant \frac{a+b+c}{3}$

Áp dụng AM-GM ta có $a^2+ab+b^2\leqslant \frac{3(a^2+b^2)}{2}\Rightarrow \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geqslant \frac{2a^3}{3(a^2+b^2)}$

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại ta chỉ cần chứng minh 

              $\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{a^2+c^2}\geqslant \frac{a+b+c}{2}$

Áp dụng Co-Si ngược dấu ta có 

              $\frac{a^3}{a^2+b^2}= \frac{a(a^2+b^2)}{a^2+b^2}-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\geqslant a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}$

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta có đpcm

Vậy $a+b+c \leqslant 3$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

[Near Deilarter]

84. Cho a,b,c là số thực dương thỏa: abc + a + c = b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P = $\frac{2}{a^2+1} - \frac{2}{b^2+1}+\frac{3}{c^2+1}$

[Near Deilarter]

Cho a,b,c là số thực dương thỏa: abc + a + c = b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P = $\frac{2}{a^2+1} - \frac{2}{b^2+1}+\frac{3}{c^2+1}$

Đặt t = 1/b khi đó ta có ac + ct + ta = 1,

P = $\frac{2}{a^2+1}+\frac{3}{c^2+1} -\frac{2t^2}{t^2+1}$

P+2 = $\frac{2}{a^2+1}+\frac{3}{c^2+1} +\frac{2}{t^2+1}$ (*)

Mặt khác: c = $\frac{1-at}{a+t}$

Thay vào (*), được

P + 2 = $\frac{5(x^2+y^2)+6xy+4}{x^2+y^2+x^2y^2+1}$

P - 3 = $\frac{6xy-5x^2y^2-1}{x^2+y^2+x^2y^2+1}$

P- 3 $\geq \frac{6xy-5x^2y^2-1}{2xy+x^2y^2+1}$

P$\geq \frac{16xy+4}{x^2y^2+2xy+1}-2$

Xét hàm f(t) = $\frac{16t+4}{t^2+2t+1}-2$ trên miền [0;1]

Sau đó balabala

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Near Deilarter: 11-12-2013 - 14:08

[Phuong Thu Quoc]

 

Bài này làm sao vậy mọi người .... giúp e nha cảm ơn hihi

 

Bài 12:  Cho ba số thực dương a, b, c thỏa: 

$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2} + \frac{b^3}{b^2+bc+c^2} + \frac{c^3}{c^2 +ac +a^2} =1$

   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  S  = a + b + c

 

Ta cần chứng minh $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

Dễ thấy $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}=\frac{b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{c^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{a^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}$ ( Thật vậy $VT-VP=\left ( a-b \right )+\left ( b-c \right )+\left ( c-a \right )=0$ )

Do đó ta cần chứng minh $\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}+c^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}+A^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{2\left ( a+b+c \right )}{3}\Leftrightarrow \left ( a+b \right ).\frac{a^{2}-ab+b^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\left ( b+c \right ).\frac{b^{2}-bc+c^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\left ( c+a \right )\frac{c^{2}-ca+a^{2}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{2\left ( a+b+c \right )}{3}$

Ta đi chứng minh $\left ( a+b \right ).\frac{a^{2}-ab+b^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{a+b}{3}\Leftrightarrow \frac{a^{2}-ab+b^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{1}{3}$ ( các biểu thức khác làm tương tự )

Có $\frac{a^{2}-ab+b^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}(A)=\frac{\left ( \frac{a}{b} \right )^{2}-\frac{a}{b}+1}{\left ( \frac{a}{b} \right )^{2}+\frac{a}{b}+1}$ 

Đặt $\frac{a}{b}=t$

$A=\frac{t^{2}-t+1}{t^{2}+t+1}$

Bằng phương pháp tam thức bậc 2 ta chứng minh được $\frac{1}{3}\leq A\leq 3$ 

 

Từ các điều trên ta suy ra $a+b+c\leq 3$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

[luuvanthai]

Bài 12:Vạ gì mà khổ vậy các bạn cứ cách dễ mà làm.

$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{2a-b}{3}$

$\Leftrightarrow 3a^{3}\geq (2a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

$\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

Do đó 1$\geq \frac{S}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luuvanthai: 14-12-2013 - 16:55

[trantruonggiang]

Bài 84 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trantruonggiang: 16-12-2013 - 01:05

[25 minutes]

Bài 84 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$

Xét $A=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{3xy}+\frac{1}{3xy}+\frac{1}{3xy}+\frac{1}{3yz}+\frac{1}{3yz}+\frac{1}{3yz}+\frac{1}{3xz}+\frac{1}{3xz}+\frac{1}{3xz}$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

  $A\geqslant \frac{10^2}{x^2+y^2+z^2+9(xy+yz+zx)}=\frac{100}{(x+y+z)^2+7(xy+yz+zx)}\geqslant \frac{100}{1+\frac{7}{3}}=30$

Do $3(xy+yz+zx) \leqslant (x+y+z)^2=1$

Đẳng thức xảy ra khi $3x=3y=3z=1$

[trantruonggiang]

Bài 85 Cho $x,y,z>0$. Chứng minh rằng: $\frac{x}{y+z}+\frac{4y}{z+x}+\frac{9z}{x+y}\geq 4$. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Chúc ôn thi hiệu quả.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trantruonggiang: 16-12-2013 - 14:30

[25 minutes]

Bài 85 Cho $x,y,z>0$. Chứng minh rằng: $\frac{x}{y+z}+\frac{4y}{z+x}+\frac{9z}{x+y}\geq 4$. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Chúc ôn thi hiệu quả.

BĐT $\Leftrightarrow \frac{x}{y+z}+1+\frac{4y}{x+z}+4+\frac{9z}{x+y}+9\geqslant 18$

         $\Leftrightarrow \frac{x+y+z}{y+z}+\frac{4(x+y+z)}{x+z}+\frac{9(x+y+z)}{x+y}\geqslant 18$

         $\Leftrightarrow (x+y+z)(\frac{1}{y+z}+\frac{4}{x+z}+\frac{9}{x+y})\geqslant 18$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có $\frac{1}{y+z}+\frac{4}{x+z}+\frac{9}{x+y}\geqslant \frac{(1+2+3)^2}{y+z+x+z+x+y}=\frac{18}{x+y+z}$

Do đó ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{1}{y+z}=\frac{2}{x+z}=\frac{3}{x+y}$

[bathoi2014]

Bài 86 Cho $a,b,c> 0$ và $a\geq max\left \{ b,c \right \}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $M= \frac{a}{b}+2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}}$.

[25 minutes]

Bài 86 Cho $a,b,c> 0$ và $a\geq max\left \{ b,c \right \}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $M= \frac{a}{b}+2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}}$.

Tham khảo tại đây

[bathoi2014]

Bài 87 Chứng minh: Nếu $x_{1}x_{2}> 0$, $x_{1}y_{1}-z_{1}^{2}> 0$ và $x_{2}y_{2}-z_{2}^{2}> 0$ thì $\frac{8}{\left ( x_{1}+x_{2} \right )\left (y_{1}+y_{2} \right )-\left ( z_{1}+z_{2} \right )^{2}}\leq \frac{1}{x_{1}y_{1}-z_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}y_{2}-z_{2}^{2}}$ . Tìm điều kiện cần và đủ để dấu đẳng thức xảy ra.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bathoi2014: 17-12-2013 - 21:11

[Ispectorgadget]

Bài 88: Cho $x,y>0$ và $x+y=1$. Tìm min $$P=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}$$

[25 minutes]

Bài 88: Cho $x,y>0$ và $x+y=1$. Tìm min $$P=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}$$

Xét $P^2=x^2+y^2-2x^2y^2+2xy\sqrt{1-(x^2+y^2)+x^2y^2}$

Đặt $xy=t\Rightarrow x^2+y^2=(x+y)^2-2t=1-2t$

Lại có $t=xy\leqslant \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow P^2=f(t)=1-2t-2t^2+2t\sqrt{1-(1-2t)+t^2}=1-2t-2t^2+2t\sqrt{t^2+2t},t \in \left (0,\frac{1}{4} \right ]$

$\Rightarrow f'(t)=-2-4t+\frac{2t(t+1)}{\sqrt{t^2+2t}}+2\sqrt{t^2+2t}=\frac{4t^2+6t-(2+4t)\sqrt{t^2+2t}}{\sqrt{t^2+2t}}$

$\Rightarrow f'(t)=0\Leftrightarrow t=0$

$\Rightarrow f(t)\geqslant f(\frac{1}{4})=\frac{3}{4}\Rightarrow P\geqslant \frac{\sqrt{3}}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $2a=2b=1$

[luuvanthai]

Bài 81:x,y,z không âm thoả mãn:$\sqrt{x^{2}+y^{2}+2x+2y+1}+z=3$.Tìm max:

P=$x^{4}+y^{4}+z^{4}$

Ta có:$x^{2}+y^{2}+2(x+y)+1\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}+2(x+y)+1$

$\Rightarrow 2(3-z)^{2}+2\geq (x+y+2)^{2}$

Do đó $P\leq (x+y)^{4}+z^{4}\leq (\sqrt{2z^{2}-12z+20}-2)^{2}+z^{4}$

Xét $f(z)= (\sqrt{2z^{2}-12z+20}-2)^{2}+z^{4}=z^{4}+2z^{2}-12z+24-4\sqrt{2z^{2}-12z+20}$ với $z\leq 2$

Thật may $-4\sqrt{2z^{2}-12z+20}\leq -8$ vì nó $\Leftrightarrow 2(z-2)(z-4)\leq 0$

$f(z)\leq z^{4}+2z^{2}-12z+16\leq 16\Leftrightarrow z(z-2)(z^{2}+2z+6)\leq 0$ 

Luôn đúng

dấu bằng xảy ra khi $x=y=0;z=2$

[luuvanthai]

Bài 56 có khá nhiều 2 cách .Mình xin giới thiệu 2 cách:

C1:Ta có $36\geq 9+2z^{2}+y^{2}$

$\Rightarrow \frac{36x}{yz}\geq \frac{x(9+2z^{2}+y^{2})}{yz}\geq 1+\frac{2xz}{y}+\frac{xy}{z}$ (vì $x\geq 1;yz\leq 9$

Do đó $P\geq 1+2(\frac{xz}{y}+\frac{y}{xz})+(\frac{xy}{z}+\frac{z}{xy})\geq 7$

Đẳng thức có được khi $x=1;y=z=3$

C2:Kháo sát ch hóttt

$f(x)=\frac{36x}{yz}+\frac{2y}{xz}+\frac{z}{xy}$

$f(x)'=\frac{36}{yz}-\frac{2y}{x^{2}z}-\frac{z}{x^{2}}=\frac{36x^{2}-2y^{2}-z^{2}}{x^{2}yz}> 0$

$\Rightarrow f(x)\geq f(1)=\frac{36}{yz}+\frac{2y}{z}+\frac{z}{y}$=f(y)

$f(y)'=\frac{-36}{zy^{2}}+\frac{2}{z}-\frac{z}{y^{2}}< 0$

$\Rightarrow f(y)\geq f(3)=\frac{18}{z}+\frac{z}{3}=f(z)$

$f(z)'=\frac{-18}{z^{2}}+\frac{1}{3}< 0$

$\Rightarrow f(z)\geq f(3)=7$

 

Bạn nên trích dẫn những bài mình làm . Thanks

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 29-12-2013 - 10:48

[luuvanthai]

Bài 55:Cho $a,b,c$ và $abc=1.$Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^{2}-a+1}$+ $\frac{1}{b^{2}-b+1}$+ $ \frac{1}{c^{2}-c+1}$ $\geq 1$

Bài 55 chắc là abc=8t 

Đặt $2a=\frac{yz}{x^{2}};2b=\frac{xz}{y^{2}};2c=\frac{xy}{z^{2}}$

Ta cần cm:$\sum \frac{1}{(\frac{2yz}{x^{2}})-\frac{2yz}{x^{2}}+1}\geq 1 \Leftrightarrow \sum \frac{x^{4}}{x^{4}-2yzx^{2}+4y^{2}z^{2}}\geq 1$

$\Leftrightarrow \sum \frac{x^{6}}{x^{6}-2x^{4}yz+4}\geq \frac{(x^{3}+y^{3}+z^{3})^{2}}{\sum x^{6}-2xyz(x^{3}+y^{3}+z^{3})+12}\geq 1$

$\Leftrightarrow \sum \frac{x^{6}}{x^{6}-2x^{4}yz+4x^{2}y^{2}z^{2}}\geq \frac{(x^{3}+y^{3}+z^{3})^{2}}{\sum x^{6}-2xyz(x^{3}+y^{3}+z^{3})+12x^{2}y^{2}z^{2}}\geq 1$

Luon dung theo co si

 Chỉ trích dẫn những bài mình làm thôi nhé ^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 29-12-2013 - 10:49

[Near Deilarter]

Bài 89 : Cho x,y,z thuộc khoảng (0;1) và thỏa mãn: xy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

T = $\frac{xyz}{(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 29-12-2013 - 10:46

[hihi2zz]

Bài 90: Xét các tam giác $ABC.$Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\cos A+\cos B+\cos C+\frac{4}{\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}}$ 

[25 minutes]

Bài 90: Xét các tam giác $ABC.$Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\cos A+\cos B+\cos C+\frac{4}{\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}}$ 

Trước hết mình không chứng minh lại kết quả sau :

                    $\cos A+\cos B+ \cos C=1+4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$

Khi đó $P=1+4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}+\frac{4}{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}$

Đặt $\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}=t\Rightarrow t\leqslant \frac{1}{8}$

Và $P=f(t)=1+4t+\frac{4}{t}, t \in \left (0,\frac{1}{8} \right ]$

Dễ dàng chứng minh được $f(t) \geqslant f(\frac{1}{8})=\frac{67}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $A=B=C=60^0$