Chủ đề này có 389 trả lời

[daicahuyvn]

cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $3a+57b+7c=3abc+\frac{100}{a}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a+b+c

$57P=57a+57b+57c=54a+50c+3abc+\frac{100}{a}\ge 54a+\frac{100}{a}\ge 2\sqrt{54a.\frac{100}{a}}=60\sqrt{6}$

$\Rightarrow P\ge \frac{20\sqrt{6}}{19} \approx 2,57$

Đẳng thức xảy ra khi $a=\frac{5\sqrt{6}}{9}, b=\frac{85\sqrt{6}}{171}, c=0$

Tối qua dùng Lagrange giải trâu ra điểm cực trị là (5, 5/3, 5); kiểm tra lại thì ko phải min cũng ko phải max.Cuối cùng nghĩ ra cách này

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daicahuyvn: 30-04-2014 - 09:02

[25 minutes]

2) cho 3 số thực dương a,b,c sao cho $a+b+c+2 =abc$

 

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})=(x,y,z)$

Khi đó ta có $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+2=\frac{1}{xyz}\Leftrightarrow xy+yz+zx+2xyz=1$

Và $P=x+y+z$

Áp dụng AM-GM ta có 

      $1=xy+yz+zx+2xyz\leqslant \frac{(x+y+z)^2}{3}+\frac{2(x+y+z)^3}{27}\Rightarrow x+y+z\geqslant \frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=2$

[daicahuyvn]

cho các số thực không âm x,y thỏa 
$\left\{\begin{matrix} 2x+y \leqslant 6\\ x+y \leqslant 4 \end{matrix}\right.$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$P= x^2-(y-6)^{2}$

 

nguồn: Đề thi thử đại học môn toán lần 2 (4/5/2014) của THPT chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai

Dễ thấy $y\le 6$

$P\le (4-y)^2-(y-6)^2=4y-20\le 16-20=-4$

Dấu = xảy ra khi x=0,y=4

không cần dùng đến $2x+y\le 6$

[daicahuyvn]

Ủng hộ hai bài

Bài 96 Cho các số thực không âm thoả mãn $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca+1}=\frac{ab+bc+ca}{2}$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=2\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\left | a-b \right |-\left | b-c| \right-\left | c-a \right | $

Giả sử $a\ge b\ge c$

$2\sqrt{a^2+b^2+c^2}-2(a-c)$

Đặt s=ab+bc+ca, dễ thấy $s\ge1; a^2+b^2+c^2=\frac{s(s+1)}{2}; (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=s(s-1)$

Lại có $(a-c)^2=(a-b+b-c)^2\ge (a-b)^2+(b-c)^2\Rightarrow 2(a-c)^2\ge \sum (b-c)^2=s(s-1)\Rightarrow 2|a-c|\ge\sqrt{2s(s-1)}$

Suy ra $P\le \sqrt{2s(s+1)}-\sqrt{2s(s-1)}$

Dễ dàng cm hàm số trên nghịch biến khi $s\ge 1$, từ đó suy ra P\le 2

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Vậy GTLN của P là 2.

[daicahuyvn]

Bài 97 Cho các số không am thoả mãn a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhát của 

 F=$\frac{1}{(a-b)^{2})}+\frac{1}{(b-c)^{2})}+\frac{1}{(c-a)^{2})}$

Giả sử $c=min\{a,b,c\}$

$F\ge \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b+\frac{c}{2})^2}+\frac{1}{(a+\frac{c}{2})^2}$

Đặt $x=a+\frac{c}{2};y=b+\frac{c}{2}$ ta có $x+y=a+b+c=1$

và $F\ge \frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(1-x)^2}+\frac{1}{(1-2x)^2}=f(x)$

$f'(x)=\frac{-2}{x^3}+\frac{-2}{(x-1)^3}+\frac{-4}{(2x-1)^3}=0\Lètrightarrow (3x^2-3x+1)(6x^4-12x^3+12x^2-6x+1)=0$

$\Leftrightarrow 6x^4-12x^3+12x^2-6x+1=0\Leftrightarrow 6(x^2-x)^2+6(x^2-x)+1=0\Rightarrow x^2-x=\frac{-3+\sqrt{3}}{6}$(loại nghiệm kia vì $x^2-x\ge -\frac{1}{4}$)

$\Leftrightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{-1+\frac{2}{\sqrt{3}}}}{2}$

Từ đó suy ra GTNN của F là $9+6\sqrt{3}$

GTNN đó đạt được khi (a,b,c) là hoán vị của $(\frac{1+ \sqrt{-1+\frac{2}{\sqrt{3}}}}{2};\frac{1- \sqrt{-1+\frac{2}{\sqrt{3}}}}{2};0)$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daicahuyvn: 08-05-2014 - 19:06

[sieu dao chich]

Cho ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a^3+8b^3+27c^3-18abc-1=0$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$$P=a^2+4b^2+9c^2$$

P/s.Không biết có cần điều kiện $a,b,c$ không âm không nhỉ

[daicahuyvn]

Cho ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a^3+8b^3+27c^3-18abc-1=0$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=a^2+4b^2+9c^2$$
P/s.Không biết có cần điều kiện $a,b,c$ không âm không nhỉ

Đặt $x=a,y=2b,z=3c$ thì $x^3+y^3+z^3-3xyz=1$ và $P=x^2+y^2+z^2$
$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)[\frac{3}{2}(x^2+y^2+z^2)-\frac{1}{2}(x+y+z)^2]$
Đặt $Q=x+y+z$ thì $Q^3-3PQ+2=0$ hay $P=\frac{Q^3+2}{3Q}$
Vì $3(x^2+y^2+z^2)\ge (x+y+z)^2$ nên $P\ge \frac{Q^2}{3}\Rightarrow \frac{Q^3+2}{3Q}\ge \frac{Q^2}{3}\Rightarrow \frac{2}{3Q}\ge 0 \Rightarrow Q>0$
Vì $Q>0$ nên $P=\frac{Q^3+2}{3Q}\ge 1$
$P=x^2+y^2+z^2=1$ thì $Q=x+y+z=1$ suy ra $x,y,z$ có $2$ số bằng $0$, số còn lại bằng $1$. Khi đó $(a,b,c)$ là $(1,0,0) \vee (0,\frac{1}{2},0) \vee (0,0,\frac{1}{3}) $
KL $\min P=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 10-05-2014 - 19:21

[trauvang97]

1)cho 3 số dương a,b,c thoả mãn $ab+bc+ca =3abc$

tìm min của $P=a+b+c-\frac{1}2 (\sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}2{}}+\sqrt[3]{\frac{b^{3}+c^{3}}2{}}+\sqrt[3]{\frac{a^{3}+c^{3}}2{}})$

 

Từ giả thiết ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$

 

Ta có: $\sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}}=\frac{1}{2(a+b)}\sqrt[3]{(a+b)^{4}(4a^{2}-4ab+4b^{2})}$

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

 

$3\sqrt[3]{(a+b)^{4}(4a^{2}-4ab+4b^{2})}\leq 2(a+b)^{2}+(4a^{2}-4ab+4b^{2})$

 

Do đó: $\sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}}\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}$

 

Vậy: $P\geq a+b+c- \frac{1}{2} \left ( \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}+a^{2}}{c+a} \right )$

 

Ta có: $\frac{1}{2}\left (a+b-\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b} \right )=\frac{ab}{a+b}$ nên đặt: $\frac{1}{a}=x, \frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$ thì giả thiết đã cho thành: $x+y+z=3$

 

và $P=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}+\frac{\frac{1}{yz}}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}+\frac{\frac{1}{zx}}{\frac{1}{z}+\frac{1}{x}}=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\geq \frac{9}{2(x+y+z)}=\frac{3}{2}$

 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 10-05-2014 - 18:17

[daicahuyvn]

cho 3 số a,b,c dương và abc=1 

tìm max 

 

$\frac{\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1}+\sqrt{c^{2}+1}}{a+b+c}$

 

em thấy cách chứng minh của đáp án đề thi thông qua việc xét hàm số 

 

$f(t)=\sqrt{t^{2}+1}-\sqrt{2t}+\frac{\sqrt{2}\ln t}2$

 

e thắc mắc là tại sao lại liên tưởng đến hàm này và có cách giải khác ko 

Cách đấy là dùng tiếp tuyến.Dự đoán max đạt được khi $a=b=c=1$. Nếu tìm được số k sao cho $\sqrt{x^2+1}\le x\sqrt{2}+k\ln x \forall x>0$ thì sẽ xong vì lắp $a,b,c$ vào BDT trên và cộng lại ta sẽ được đpcm.

Bây giờ ta sẽ tìm k. Đặt $f(x)=\sqrt{x^2+1}-x\sqrt{2}-klnx$ .Vì với $x>0,f(x)$ đạt max khi $x=1$ và f(x) liên tục với $x>0$ nên $f'(1)=0$

Ta có $f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-\sqrt{2}-\frac{k}{x}\Rightarrow f'(1)=-\frac{\sqrt{2}}{2}-k$ suy ra $k=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Tiếp theo ta sẽ cm $f(x)\le 0\forall x<0$.Xét $f''(x)=\frac{1}{(x^2+1)^\frac{3}{2}}-\frac{\sqrt{2}}{2x^2}$. Nếu chứng minh được f''(x)<0 $\forall x>0$ thì $f'(x)$ có nghiệm dương duy nhất  là $x=1$, do đó $f'(x)>0$ khi $0<x<1$ và $f'(x)<0$ khi $x>1$.Từ đó suy ra max của $f(x)$ đạt được tại 1.

$f''(x)<0 \Leftrightarrow (x^2+1)^3> 2x^4$ luôn đúng vì $(x^2+1)^3=x^6+3x^4+3x^2+1>2x^4 \forall x>0$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 13-05-2014 - 17:18

[soulofwind]

Cho các số thực không âm thoả mãn $z\geq y\geq x$, xy+yz+zx> 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$2\sqrt{\frac{x}{y+z}}+2\sqrt{\frac{y}{x+z}}+3\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}$.

 

 

Bài này cầng chứng minh bổ đề $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}\geq \sqrt{\frac{x+y}{z}}$ nhưng mình không biết xuất phát từ đâu tìm ra bổ đề đó. Mong mọi người giúp !!!1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi soulofwind: 15-05-2014 - 09:34

[daicahuyvn]

Cho các số thực không âm thoả mãn $z\geq y\geq x$, xy+yz+zx> 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$2\sqrt{\frac{x}{y+z}}+2\sqrt{\frac{y}{x+z}}+3\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}$.

 

 

Bài này cầng chứng minh bổ đề $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}\geq \sqrt{\frac{x+y}{z}}$ nhưng mình không biết xuất phát từ đâu tìm ra bổ đề đó. Mong mọi người giúp !!!1

Cái này là dồn biến thôi mà , kiểu $f(x,y,z)\ge f(0,x+y,z)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daicahuyvn: 18-05-2014 - 19:08

[daicahuyvn]

Cho x,y,z là số dương thỏa mãn: xyz = 8. Tìm GTLN:

P = $\frac{1}{2x+y+6}+\frac{1}{2y+z+6}+\frac{1}{2z+x+6}$

Đặt x=2a^2, y=2b^2, z=2c^2 với a,b,c >0 thì abc=1 và 

$P=\frac{1}{2}(\frac{1}{2a^2+b^2+3}+\frac{1}{2b^2+c^2+3}+\frac{1}{2c^2+a^2+3})\le \frac{1}{2}(\frac{1}{2ab+2a+2}+\frac{1}{2bc+2b+2}+\frac{1}{2ca+2c+2})=\frac{1}{4}$

Dấu = xảy ra khi x=y=z=2. Vậy max P=0,25

[levanvu12a1]

Cho x,y,z là các số thực không âm thoả mãn $0<{(x+y)}^2+{(y+z)}^2+{(x+z)}^2\leq18$

$$P=x^2+y^2+z^2-\frac{{(x+y+z)}^2}{3(x^2+y^2+z^2}$$

[phanquockhanh]

Bài 99:Cho $x;y>0$ và $3(x+y)^2=4(x^2+y^2+1)$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{x+2y}{x^2+2y^2}+\frac{2x+y}{2x^2+y^2}$

 

Bài 100:Cho $x;y>0$ và $x+y\geq 1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P= \frac{21x^2+1}{3y}+\frac{3y^3+1}{4x}$

[daicahuyvn]

Bài tiếp 

Cho các số thực a,b thoả mãn $a^{3}+2b^{3}+ab=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

            P=$a^{2}+b^{2}+a+b+ab$

$6P=(2a+b+1)^2+(2b+a+1)^2+(a-b)^2-2\ge -2 \Rightarrow P\ge \frac{-1}{3}$

Dấu = xảy ra khi a=b=-1/3 , thoả màn đk a^3+2b^3+ab=0.

Vậy GTNN của P là -1/3

[daicahuyvn]

Đề của page yêu toán học 

Cho x,y$\varepsilon (0;1]$,z$\geq 1$ thoả mãn điều kiện $24x^{2}y^{2}+10z(x^{3}z+y^{2}-xy)+z^{2}=0$

Tìm giá trị lớn nhất của N=$6\sqrt{10}(\frac{1}{\sqrt{x^{4}+1}}+\frac{1}{\sqrt{y^{4}+1}}+\frac{2z}{\sqrt{z^{2}+1}})-\frac{125x^{2}y^{2}}{z^{2}}$

Bạn xem lại đk đi

$24x^2y^2+10z(x^3+y^2-xy)+z^2=(5xy-z)^2+10z(x^3+y^2)-x^2y^2>10y^2-x^2y^2>0$

[daicahuyvn]

 

Bài 99:Cho $x;y>0$ và $3(x+y)^2=4(x^2+y^2+1)$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{x+2y}{x^2+2y^2}+\frac{2x+y}{2x^2+y^2}$

 

Bài 100:Cho $x;y>0$ và $x+y\geq 1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P= \frac{21x^2+1}{3y}+\frac{3y^3+1}{4x}$

 

99. $P\le \frac{3}{x+2y}+\frac{3}{2x+y}=\frac{9(x+y)}{2x^2+2y^2+5xy}=\frac{9(x+y)}{\frac{17}{4}(x+y)^2+\frac{1}{2}}$

$3(x+y)^2=4(x^2+y^2+1)\ge 2(x+y)^2+4\Rightarrow x+y\ge 2$

$\frac{9(x+y)}{\frac{17}{4}(x+y)^2+\frac{1}{2}}\le 2 \Leftrightarrow (x+y-2)(17x+17y-2)\ge 0$ (đúng)

Dấu = xảy ra khi x=y=1.Vậy max P=2

100. Bài này P nhỏ nhất khi x,y là nghiệm của pt bậc 5

[daicahuyvn]

Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $x^2+y^2+z^2=1$

Tìm GTLN của $P=\frac{xy}{1+z^2}+\frac{yz}{1+x^2}-\frac{y^3(x^3+z^3)}{24x^3z^3}$

$\frac{xy}{1+z^2}=\frac{xy}{x^2+y^2+2z^2}\le \frac{(x+y)^2}{4(x^2+z^2+y^2+z^2)}\le \frac{1}{4}(\frac{x^2}{x^2+z^2}+\frac{y^2}{y^2+z^2})\le \frac{x^2}{4(x^2+z^2)}+\frac{y}{8z}$

Tương tự: $\frac{yz}{1+x^2}\le \frac{z^2}{4(x^2+z^2)}+\frac{y}{8x}$

Suy ra $\frac{xy}{1+z^2}+\frac{yz}{1+x^2}\le \frac{1}{4}+\frac{1}{8}(\frac{y}{x}+\frac{y}{z})$

$\frac{y^3(x^3+z^3)}{x^3z^3}=\frac{y^3}{x^3}+\frac{y^3}{z^3}\ge \frac{1}{4}(\frac{y}{x}+\frac{y}{z})^3$

Đặt $t=\frac{y}{x}+\frac{y}{z}$.Ta có $P\le \frac{1}{4}+\frac{t}{8}-\frac{t^3}{96}=f(t)$

$f(t)\le \frac{5}{12}\Leftrightarrow \frac{t^3}{96}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}\ge \frac{t}{8}$(đúng theo AM-GM)

Đẳng thức xảy ra khi x=y=z.

Vậy GTLN của P là 5/12.

[NDP]

Cho a,b,c là các số thực dương tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

 P=$\frac{2a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{2b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{2c^{2}}{(c+a)^{2}}+\frac{4a^{2}b^{2}}{(a+b)^{2}(b+c)^{2}}$

[Loba]

Cho các các số thực dương x, y. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $P=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2+y^2}+5ln(\sqrt{xy})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Loba: 24-05-2014 - 14:00