Chủ đề này có 389 trả lời

[the man]

Cho : $x+y+z\geq 3$

Tìm min P =$\sum \frac{x^2}{yz+\sqrt{8+x^3}}$

Sử dụng Cô-si  $\sqrt{8+x^3}=\sqrt{(x+2)(x^2-2x+4)}\leq \frac{x^2-x+6}{2}\Rightarrow \frac{x^2}{yz+\sqrt{8+x^3}}\geq \frac{2x^2}{2yz+x^2-x+6}$

$\Rightarrow \sum \frac{x^2}{yz+\sqrt{8+x^3}}\geq 2.\frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz-x-y-z+18}$

                             $=2.\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2-(x+y+z)+18}=2.\frac{t^2}{t^2-t+18}$      Với $t=x+y+z, t \geq3$

Nhận thấy dấu = xảy ra khi $t=3$ nên khi đó $\frac{t^2}{t^2-t+18}=\frac{3}{8}$

Ta chứng minh $\frac{t^2}{t^2-t+18}\geq \frac{3}{8}$

BĐT này tương đương với $5t^2+3t-54\geq 0$   (luôn đúng do $t \geq 3$)

$\Rightarrow Min P=\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=y=z=1$

[binhnhaukhong]

 

Bài 2. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

$P=\frac{(x+1)(y+1)^{2}}{3\sqrt[3]{z^{2}x^{2}}+1}+\frac{(y+1)(z+1)^{2}}{3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}}+1}+\frac{(z+1)(x+1)^{2}}{3\sqrt[3]{y^{2}z^{2}}+1}$

 

Sử dụng đánh giá sau $3\sqrt[3]{x^2z^2}+1=3\sqrt[3]{xz.x.z}+1\leq xz+x+z+1=(x+1)(z+1)$

[binhnhaukhong]

Mình cũng đóng góp bài này

Cho $x,y,z>0; xyz=\frac{4}{3}$.Tìm Min của P biết 

$P=\frac{x^2}{\sqrt{(1+x^3)(1+8y^3)}}+\frac{4y^2}{\sqrt{(1+8y^3)(1+27z^3)}}+\frac{9z^2}{\sqrt{(1+27z^3)(1+x^3)}}$

Nếu đặt $x=a,2y=b,3z=c$ thì ta có bài toán sau:

http://diendantoanho...1y31geq-frac43/

[25 minutes]

cho a,b,c >=0. Tim Min cua

$\sum \frac{a(b+c)}{b^{2}+c^{2}}$

Giả sử $c$ là số nhỏ nhất trong 3 số

Ta sẽ chứng minh 

          $\sum \frac{a(b+c)}{b^2+c^2}\geqslant 2$

$\Leftrightarrow \frac{a(b+c)}{b^2+c^2}-1+\frac{b(a+c)}{a^2+c^2}-1+\frac{c(a+b)}{a^2+b^2}\geqslant 0$

$\Leftrightarrow \frac{b(a-b)+c(a-c)}{b^2+c^2}+\frac{a(b-a)+c(b-c)}{a^2+c^2}+\frac{c(a+b)}{a^2+b^2}\geqslant 0$

$\Leftrightarrow (a-b)(\frac{b}{b^2+c^2}-\frac{a}{a^2+c^2})+c(\frac{a-c}{b^2+c^2}+\frac{b-c}{a^2+c^2}+\frac{a+b}{a^2+b^2})\geqslant 0$

$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2(ab-c^2)}{(b^2+c^2)(a^2+c^2)}+c(\frac{a-c}{b^2+c^2}+\frac{b-c}{a^2+c^2}+\frac{a+b}{a^2+b^2})\geqslant 0$

Vậy ta có đcpm

Đẳng thức xảy ra khi có 1 số bằng 0

[25 minutes]

Đóng góp 1 bài cho topic!

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $abc+c+2b=2a$

Chứng minh rằng:$\sqrt{\frac{1}{1+a^2}}+\sqrt{\frac{b^2}{1+b^2}}+\sqrt{\frac{c^2}{4+c^2}}\leq \frac{3}{2}$

Đặt $c=2t$, ta có $t=\frac{a-b}{ab+1}$ và $P=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\sqrt{\frac{b^2}{b^2+1}}+\sqrt{\frac{t^2}{1+t^2}}$

Đặt $a=\tan x, b=\tan y\Rightarrow t=\tan (x-y)$

Khi đó $P=\cos x+\sin y+\sin (x-y)\leqslant 1-2\sin^2\frac{x}{2}+2\sin \frac{y+x-y}{2}\leqslant \frac{3}{2}\Leftrightarrow (2\sin \frac{x}{2}-1)^2\geqslant 0$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x=2y\\\sin \frac{x}{2}=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

[25 minutes]

Bài 1: Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn $a+b+c=1, ab+bc+ca> 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=\frac{2}{\left | a-b \right |}+\frac{2}{\left | b-c \right |}+\frac{2}{\left | c-a \right |}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}$

Bài 2 :Cho các số thực dương x. y, z thỏa mãn $xyz=1$. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}+\frac{4}{3(1+z)^{2}}$

Bài 1: Tham khảo tại đây

Bài 2: Áp dụng BĐT phụ sau

                $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geqslant \frac{1}{1+xy}$

Chứng minh bđt trên bằng biến đổi tương đương.

Khi đó $P\geqslant \frac{1}{1+ab}+\frac{4}{3(1+c)^3}=\frac{c}{1+c}+\frac{4}{3(1+c)^3}=\frac{c^3+2c^2+c+\frac{4}{3}}{(1+c)^3}=f(c)$

Bây giờ khảo sát hàm số $f(c)$

[25 minutes]

Bài 3. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: abc+a+c=b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{2}{a^{2}+1}-\frac{2}{b^{2}+1}-\frac{4c}{\sqrt{c^{2}+1}}+\frac{3c}{(c^{2}+1)\sqrt{c^{2}+1}}$

 

Từ giả thiết ta có $c=\frac{b-a}{ab+1}$

Khi đó đặt $b=\tan y,a =\tan x\Rightarrow c=\tan (y-x)$

Khi đó $P=2\cos^2x-2\cos^2y-4\sin (y-x)+3\sin (y-x).\cos^2(y-x)$

.......................................................

[25 minutes]

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: $5\sum x^2=9(xy+2yz+xz)$

Tìm max P=$\frac{x}{y^2+z^2}-\frac{1}{(x+y+z)^3}$

Từ giả thiết ta có $5x^2-9x(y+z)=18yz-5(y^2+z^2)\leqslant 2(y+z)^2$

$\Rightarrow x\leqslant 2(y+z)$

Khi đó $P\leqslant \frac{2(y+z)}{\frac{(y+z)^2}{2}}-\frac{1}{27(y+z)^3}=\frac{4}{y+z}-\frac{1}{27(y+z)^2}$

Bây giờ khảo sát hàm số là xong

[kudoshinichihv99]

Cho a, b,c dương thỏa mãn $\sum a(a-1)\leq \frac{4}{3}$

Tìm min P=$\sum \frac{1}{a+1}$

[25 minutes]

Cho a, b,c dương thỏa mãn $\sum a(a-1)\leq \frac{4}{3}$

Tìm min P=$\sum \frac{1}{a+1}$

Từ giả thiết ta có $a+b+c+\frac{4}{3}=a^2+b^2+c^2\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{3}$

                           $\Rightarrow a+b+c\leqslant 4$

Khi đó $\sum \frac{1}{a+1}\geqslant \frac{9}{a+b+c+3}\geqslant \frac{9}{7}$

...............

[anhxuanfarastar]

Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa $(xz+y)(xy+z)-x^{2}z^{2}=4y^{2}$ và $xz\geq 2y$. 

Tìm GTLN $P=(1+\frac{y}{xz})^{2}+(\frac{xz+y}{zx-y})^{2}$

[gavn]

Cho $x,y> 0$ thỏa $2x+3y\leq 7$ .Tìm min:

P=$2xy+y$$+\sqrt{5(x^{2}+y^{2})}$ $-24\sqrt[3]{8(x+y)-(x^{2}+y^{2}+3)}$

[dang123]

cho a,b,c>=0 va ab+bc+ca=1 .Tim min:

P=$\sum \frac{1}{a+b}-\frac{1}{a+b+c}$

[longatk08]

Dạo này thấy topic hơi chìm,góp thêm 1 bài!

Cho $x,y,z$ thực dương thỏa mãn $(x+y)^2+4x^2y^2+1=(2z^2+1)^2$.Tìm GTNN của:

$P=\frac{16x^3}{(y+z)^3}+\frac{16y^3}{(x+z)^3}+3.\frac{xy+1}{z^2+1}$

[shk202]

cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn điều kiện: a+b+c=3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=$(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)$

[hoanglong2k]

cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn điều kiện: a+b+c=3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=$(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)$

Giả sử $a\geq b\geq c\geq 0$ thì ta có

$$b^2-bc+c^2=b^2+c(c-b)\leq b^2$$

$$a^2-ac+c^2=(a+c)^2-3ac\leq (a+c)^2$$

$$a^2-ab+b^2\leq a^2-ab+b^2+c(2a-b)+c^2=(a+c)^2+b^2-b(a+c)$$

$$\Rightarrow P\leq (a+c)^2.b^2.\left [ (a+c)^2-(a+c).b+b^2 \right ]$$

 

Đặt $m=a+c\Rightarrow m+b=3$

Ta có : $$P\leq m^2b^2(m^2-mb+b^2)$$

$$=\frac{4}{9}.\frac{3mb}{2}.\frac{3mb}{2}.(m^2-mb+b^2)$$

$$\leq \frac{4}{9}.\left ( \frac{m^2+2mb+b^2}{3} \right )^3$$

$$=\frac{4}{9}.\left [ \frac{(m+b)^2}{3} \right ]^3=12$$

 

Vậy $GTLN$ của $P$ là $12$ khi $(a,b,c)=\left ( 2,1,0 \right )$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 04-05-2015 - 10:52

[minhtuyb]

Dạo này thấy topic hơi chìm,góp thêm 1 bài!

Cho $x,y,z$ thực dương thỏa mãn $(x+y)^2+4x^2y^2+1=(2z^2+1)^2$.Tìm GTNN của:

$P=\frac{16x^3}{(y+z)^3}+\frac{16y^3}{(x+z)^3}+3.\frac{xy+1}{z^2+1}$

Từ giả thiết ta có:

$$+) (2z^2+1)^2=(x+y)^2+\frac{(4xy)^2}{4}+1\leq (x+y)^2+\frac{(x+y)^4}{4}+1=\left [ \frac{(x+y)^2}{2}+1 \right ]^2\\ \Rightarrow 2z\leq x+y$$

$$+) (2z^2+1)^2=(2xy+1)^2+(x-y)^2\geq (2xy+1)^2\Rightarrow z^2\geq xy$$

 

Áp dụng bất đẳng thức $\frac{a+c}{b+c}\geq \frac{a}{b}$ với $b>a>0, c\geq 0$, dấu bằng khi $c=0$ với $a=xy,b=z^2,c=1$, ta có: $\frac{xy+1}{z^2+1}\geq \frac{xy}{z^2}$    (*)

 

Áp dụng BĐT Cô si 3 cho số không âm, ta dễ có:

$$\frac{16x^3}{(y+z)^3}\geq \frac{12x}{y+z}-4$$

$$\frac{16y^3}{(x+z)^3}\geq \frac{12y}{x+z}-4$$

 

Từ ba bđt trên suy ra:

$$P\geq 12\left ( \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}   \right )+3.\frac{xy}{z^2}-8$$

 

Ta có:

$$(z+x)(z+y)=z^2+xy+yz+zx\leq 2z^2+yz+zx=z(2z+x+y)\leq z(x+y+x+y)=2z(x+y)$$

Nên:

$$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z} =\frac{x^2+y^2+z(x+y)}{(z+x)(z+y)}\leq \frac{x^2+y^2+z(x+y)}{2z(x+y)}=\frac{x^2+y^2}{2z(x+y)}+\frac{1}{2}$$

 

Suy ra:

$$P\geq 6\frac{x^2+y^2}{z(x+y)}+3.\frac{xy}{z^2}-2
\\=3\left[  2\frac{x^2+y^2}{z(x+y)}+\frac{xy}{z^2} \right ]-2
\\=3.\frac{2z(x^2+y^2)+xy(x+y)}{z^2(x+y)}-2
\\\geq 3.\frac{2z(x^2+y^2)+xy.2z}{z^2(x+y)}-2
\\=6.\frac{x^2+y^2+xy}{z(x+y)}-2
\\\geq 6.\frac{\frac{3}{4}(x+y)^2}{z(x+y)}-2
\\=\frac{9}{2}\frac{x+y}{z}-2
\\\geq \frac{9}{2}.2-2=7$$

 

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là $7$

 

*Nhận xét: Hai khó khăn lớn nhất ở lời giải này là việc xử lý phân thức thứ 3 ( như ở (*) )  và việc làm gọn mẫu số $(z+x)(z+y)$ để xuất hiện hạng tử $z$, từ đó giảm độ phức tạp của bài toán.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 04-05-2015 - 16:55

[binhnhaukhong]

cho a,b,c>=0 va ab+bc+ca=1 .Tim min:

P=$\sum \frac{1}{a+b}-\frac{1}{a+b+c}$

Ta sẽ chứng minh $P\geq 2$.Nếu dồn biến thì bài này sẽ khá dài và phức tạp nên mạn phép được chứng minh bằng $p,q,r$ vì nó sẽ cho lời giải khá ngắn gọn dễ hiểu:

 

Đặt $a+b+c=p,q=ab+bc+ac=1,r=abc$ thế th BĐT cần chứng minh trở thành:

$p^2(p-2)+r(1+2p)\geq 0$

 

Xét trường hợp $p\geq 2$ thì hiển nhiên BĐT đúng

 

Xét $\sqrt{3}\leq p\leq 2$ thì áp dụng BĐT Schur bậc 3 có $r\geq \frac{4p-p^3}{9}$

Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành:

$p(2-p)(1-p)^2\geq 0$ (hiển nhiên đúng)

 

Vậy Min P=2 khi có 2 số bằng 1,1 số=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 08-05-2015 - 15:05

[25 minutes]

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xy+yz+xz=3. Tìm min của: 

P= $\frac{x^{2}+2}{y}+\frac{y^{2}+2}{z}+\frac{z^{2}+2}{x}-\frac{10}{x+y+z}$

Áp dụng AM-GM và Cauchy-Schwarzt ta có 

  $P=(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x})+2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-\frac{10}{x+y+z}$

$\Rightarrow P\geqslant x+y+z+\frac{18}{x+y+z}-\frac{10}{x+y+z}=t+\frac{8}{t}\geqslant \frac{17}{3}$

Luôn đúng do $t=x+y+z\geqslant \sqrt{3(xy+yz+zx)}=3$

[dang123]

Cho a, b, c, d > 0. Tìm GTNN của $P=\left ( 1+\frac{2a}{3b} \right )\left ( 1+\frac{2b}{3c} \right )\left ( 1+\frac{2c}{3d} \right )\left ( 1+\frac{2d}{3a} \right )$

P$\geq (1+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{a}{c}})^{2}(1+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{c}{a}})^{2}\geq \frac{625}{81}$