Đến nội dung

Hình ảnh

Bất đẳng thức chuẩn bị cho kì thi THPTQG 2015-2016


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 389 trả lời

#341
Bubble

Bubble

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết

Đăng nhầm topic rồi bạn,những bài thế này nên chuyển sang mục BĐT toán THPT.

 

Về ý tưởng cho bài này ta sẽ thực hiện phân li đẳng thức vì ngoài dấu bằng đạt tại $a=b=c$ thì còn có $a=b,c=0$ hay các hoán vị của chúng. Cụ thể ta sẽ tách riêng đại lượng $abc$ ra một bên vì dấu bằng thứ 2 sinh ra là do đại lượng này, khi đó ta có thể thoải mái đánh giá lượng còn lại mà không cần quan tâm đến điểm rơi đó nữa.

 

BĐT của chúng ta tương đương với:

 

$\sum \frac{3a^3}{b^3+c^3}+abc.\sum \frac{1}{b^3+c^3} \geq 6$

 

Áp dụng BĐT AM-GM thì ta có: $\sum (a^3+b^3)(b^3+c^3)\geq 3\sqrt[3]{\prod (a^3+b^3)^2}\geq 12a^2b^2c^2$

 

Do đó ta cần chứng minh:

 

$\sum \frac{a^3}{b^3+c^3}+\frac{4a^3b^3c^3}{\prod (a^3+b^3)}\geq 2$

 

Đây chính là BĐT Schur dạng phân thức.

cảm ơn bạn. mình xin rút kinh nghiệm :)



#342
caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết

Bài tiếp :

1,Tìm tất cả các giá trị của $a$ và $b$ thỏa mãn điều kiện : $a \geq \frac{-1}{2};\frac{a}{b} >1$ sao cho biểu thức $P=\frac{2a^3+1}{b(a-b)}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

2,Cho các số thực dương $a,b$ thỏa $a+b+1=3ab$.Tìm GTLN $P=\frac{3a}{b(1+a)}+\frac{3b}{a(1+b)}-\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}$


KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#343
luan23121998

luan23121998

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

giúp em bài này cho a,b,c>0

 tìm gtln gtnn nếu có của 
$P= \frac{4}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+4}} -\frac{9}{(a+b)(\sqrt{(a+2c)(b+2c)}} $



#344
Bubble

Bubble

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $5(x^{2}+y^{2}+z^{2})=9(xy+2yz+zx)$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=$\frac{x}{y^{2}+z^{2}}-\frac{1}{(x+y+z)^{3}}$



#345
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $5(x^{2}+y^{2}+z^{2})=9(xy+2yz+zx)$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=$\frac{x}{y^{2}+z^{2}}-\frac{1}{(x+y+z)^{3}}$

Ta có $5x^2-9x(y+z)=18yz-5(y^2+z^2)\leqslant 2(y+z)^2$

$\Rightarrow x\leqslant 2(y+z)$

$\Rightarrow P\leqslant \frac{2(y+z)}{y^2+z^2}-\frac{1}{27(y+z)^3}\leqslant \frac{4}{y+z}-\frac{1}{27(y+z)^2}=f(t),t=y+z>0$

Sau đó khảo sát hàm số.


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#346
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

giúp em bài này cho a,b,c>0

 tìm gtln gtnn nếu có của 
$P= \frac{4}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+4}} -\frac{9}{(a+b)(\sqrt{(a+2c)(b+2c)}} $

Hình gửi kèm

  • 1.png

Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#347
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Cho a,b,c là các số không âm trong đó không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng: $\sum \frac{3a^{3}+abc}{b^{3}+c^{3}}\geq 6$

Thay $(a,\,b,\,c)$ bởi $(\sqrt[3]{a},\,\sqrt[3]{b},\,\sqrt[3]{c})$ ta cần chứng minh \[\frac{3a+\sqrt[3]{abc}}{b+c}+\frac{3b+\sqrt[3]{abc}}{c+a}+\frac{3c+\sqrt[3]{abc}}{a+b}\geq 6.\] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có \[\sum \frac{a}{b+c} \geqslant \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)} = \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} + 2,\] và \[\sum \frac{1}{b+c} \geqslant \frac{9}{2(a+b+c)}.\] Như vậy ta chỉ cần chỉ ra \[\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{3\sqrt[3]{abc}}{a+b+c} \geqslant 2,\] hay \[\frac{3\sqrt[3]{abc}(ab+bc+ca)}{a+b+c} \geqslant 2(ab+bc+ca)-a^2-b^2-c^2.\] Theo bất đẳng thức Schur bậc ba thì \[\frac{9abc}{a+b+c} \geqslant 2(ab+bc+ca)-a^2-b^2-c^2.\] Do đó bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu \[ab+bc+ca \geqslant 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.\] Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức AM-GM.

Nhận xét. Vì \[\frac{3\sqrt[3]{abc}}{a+b+c} \geqslant \frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\] nên ta có bất đẳng thức mạnh hơn \[\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} + \frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geqslant 2.\] Đây là một kết quả quen thuộc của Jack Garfunkel.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 13-09-2015 - 08:38

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#348
Longtunhientoan2k

Longtunhientoan2k

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 272 Bài viết

 Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn:

     $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right )$

 Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\frac{1}{xyz}+3(x+y+z)+\frac{9}{x+y+z}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Longtunhientoan2k: 16-09-2015 - 16:56

         LONG VMF NQ MSP 


#349
Bubble

Bubble

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết

Cho các số thực x,y,z $\in$ $\left [ 0;1 \right ]$ .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

P= $\frac{x^{3}+2}{y^{2}+1}+\frac{y^{3}+2}{z^{2}+1}+\frac{z^{3}+2}{x^{2}+1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bubble: 25-09-2015 - 20:47


#350
VuHongQuan

VuHongQuan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

 

 Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn:

     $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right )$

 Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\frac{1}{xyz}+3(x+y+z)+\frac{9}{x+y+z}$

 

khôn mất tính tổng quát giả sử a=max {a,b,c}

khi đó theo giả thiết ta có :

$a^2+b^2+c^2=2c(a+b)+2ab\\\Leftrightarrow (a+b)^2-2c(a+b)+c^2=4ab\\\Leftrightarrow (a+b-c)^2=4ab\\\Leftrightarrow a+b-c=2\sqrt{ab}\\\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=c\\\Leftrightarrow \sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{c}\Rightarrow \sqrt{a}=\sqrt{b}+\sqrt{c}\\\Rightarrow a=(\sqrt{b}+\sqrt{c})^2=b+c+2\sqrt{bc}\ge4\sqrt{bc}$

khi đó sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

$abc=\frac{1}{16}.a.4\sqrt{bc}.4\sqrt{bc}\le \frac{(a+4\sqrt{bc}+4\sqrt{bc})^3}{16.27}\\\le \frac{(a+a+2(b+c))^3}{16.27}=\frac{(a+b+c)^3}{54}$

Suy ra $P\ge \frac{54}{(a+b+c)^3}+3(a+b+c)+\frac{9}{a+b+c}$

đặt $t=a+b+c$

$\Rightarrow P\ge \frac{54}{t^3}+3t+\frac{9}{t}=\frac{(t-3)^2(3t^2+4t+6)}{t^3}+14\ge14$

dấu "=" xảy ra khi a=2, b=c=1/2

(xin lỗi mình đánh quen a,b,c nhớ )



#351
VuHongQuan

VuHongQuan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

bổ sung bài làm chơi : Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn $x+y+2z=xy+1$. Tìm GTLN $P=\frac{2}{(x+y+x)^2}-\frac{7}{3(x+y+z)^2}+\frac{1}{2(x^2+y^2)+3z^2}$



#352
santo3vong

santo3vong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết

Cho các số thực dương $x,y,z$ thoả: $\frac{1}{1+{{x}^{2}}}+\frac{1}{1+{{y}^{2}}}+\frac{1}{1+{{z}^{2}}}=1$ . Chứng minh: $x+y+z\ge 2\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)$



#353
nctung017

nctung017

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Bài 14: $Cho x\geq y\geq z> 0 thỏa mãn: x^{2}+y^{2}+z^{2}=3. Tìm GTNN của P=(x+2)(y+2)(z+2)$



#354
nctung017

nctung017

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Bài 14

Cho $x\geq y\geq z : x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$ . Tìm GTNN của P=(x+2)(y+2)(z+2)



#355
Bubble

Bubble

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết

Cho a,b,c là các số thực dương, $a+b+c\geq 3$

Tìm min: P=$\sum \frac{a^{2}}{bc+\sqrt{a^{3}+8}}$



#356
long0711

long0711

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Bài 14

Cho ba số x, y, z không âm thỏa mãn: x + y + z > 0.Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{x^3+y^3+16z^3}{(x+y+z)^3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi long0711: 30-10-2015 - 09:43


#357
quan1234

quan1234

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 257 Bài viết

Bài 14

Cho ba số x, y, z không âm thỏa mãn: x + y + z > 0.Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{x^3+y^3+16z^3}{(x+y+z)^3}$

Đặt  $\frac{x}{x+y+z}=a,\frac{y}{x+y+z}=b,\frac{z}{x+y+z}=c$, ta có

$a+b+c=1$

$a^3+b^3+16c^3= (a+b)^3-3ab(a+b)+16c^3\geq \frac{1}{4}(a+b)^3+16c^3=\frac{1}{4}(1-c)^3+16c^3$

Đến đây sử dụng đạo hàm  với $c\in [0;1)$ là xong


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quan1234: 30-10-2015 - 13:44


#358
Love Inequalities

Love Inequalities

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

Bài 7: Với các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện: $x+y+1=z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

 

$P=\frac{x^{3}}{x+yz}+\frac{y^{3}}{y+zx}+\frac{z^{3}}{z+xy}+\frac{14}{(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}}$

$\frac{x^3}{x+yz}+\frac{y^3}{y+zx}\geq \frac{\left (x^2+y^2  \right )^2}{x^2+y^2+2xyz}\geq \frac{x^2+y^2}{z+1}\geq \frac{\left ( x+y \right )^2}{2\left ( z+11 \right )}=\frac{\left ( z-1 \right )^2}{z+1}$

$\frac{z^3}{z+xy}\geq \frac{z^3}{z+\dfrac{\left ( x+y \right )^2}{4}}=\frac{4z^3}{\left ( z+1 \right )^2}$

$\frac{14}{\left ( z+1 \right )\sqrt{\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )}}\geq \frac{28}{\left ( z+1 \right )\left ( x+y+2 \right )}=\frac{28}{\left ( z+1 \right )^2}$

$\Rightarrow P\geq \frac{\left ( z-1 \right )^2}{2\left ( z+1 \right )}+\frac{4z^3+28}{\left ( z+1 \right )^2}$

Xét $f\left ( z \right )=\frac{\left ( z-1 \right )^2}{2\left ( z+1 \right )}+\frac{4z^3+28}{\left ( z+1 \right )^2}$ với $z\in \left ( 0;+\infty \right )$

$f'\left ( z \right )=\frac{\left ( 3z-5 \right )\left ( 3z^2+14x+23 \right )}{2\left ( z+1 \right )^3}=0\Leftrightarrow z=\frac{5}{3}$

Lập bảng biến thiên ta được $P\geq f\left ( z \right )\geq f\left ( \frac{5}{3} \right )=\frac{58}{3}$

Dấu "=" xả ra khi $x=y=\frac{1}{3}, z=\frac{5}{3}$



#359
Love Inequalities

Love Inequalities

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

Bài 14

Cho $x\geq y\geq z : x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$ . Tìm GTNN của P=(x+2)(y+2)(z+2)

Đặt $t=\sqrt{\frac{y^2+z^2}{2}}\ \left (z \leq t\leq x \right )\Rightarrow 3=x^2+2t^2\geq 3t^2\Rightarrow t\leq 1$

Ta sẽ chứng minh: $f\left ( x,y,z \right )\geq f\left ( x,t,t \right )$ hay $f\left ( x,y,z \right )-f\left ( x,t,t \right )\geq 0$:

Điều phải chứng minh tương đương: $\left ( x+2 \right )\left ( y-z \right )^2\left ( \frac{2}{2\sqrt{\left (y^2+z^2  \right )}}-\frac{1}{2} \right )\geq 0$ (đúng vì $t=\sqrt{\frac{y^2+z^2}{2}}\leq 1$)

Xét $f\left ( a,t,t \right )=\left ( x+2 \right )\left ( t+2 \right )^2=\left ( 3+\sqrt{2-t^2} \right )\left ( t+2 \right )^2=g\left ( t \right )$

$$g'\left ( t \right )=2\left [ \left ( t+2 \right )\left ( t-1 \right ) \right ]\frac{t+3+\left ( 3t+5 \right )\sqrt{3-2t^2}}{\left ( 1+\sqrt{3-2t^2} \right )\sqrt{3-2t^2}}=0\Leftrightarrow t=1$$

$$\Rightarrow P=f\left ( a,b,c \right )\geq f\left ( a,t,t \right )=g\left ( t \right )\geq g\left ( 1 \right )=27$$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Love Inequalities: 18-11-2015 - 14:28


#360
Love Inequalities

Love Inequalities

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

Bài tiếp :

1,Tìm tất cả các giá trị của $a$ và $b$ thỏa mãn điều kiện : $a \geq \frac{-1}{2};\frac{a}{b} >1$ sao cho biểu thức $P=\frac{2a^3+1}{b(a-b)}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

2,Cho các số thực dương $a,b$ thỏa $a+b+1=3ab$.Tìm GTLN $P=\frac{3a}{b(1+a)}+\frac{3b}{a(1+b)}-\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}$

2. $$\frac{3a}{b\left ( 1+a \right )}+\frac{3b}{a\left ( 1+b \right )}=\frac{3\left ( a+b \right )^2}{ab\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )}=\frac{27\left ( a+b \right )^2}{4\left ( a+b+1 \right )^2}=\frac{27}{4\left ( 1+\dfrac{1}{a+b } \right )^2}$$

$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}=\frac{\left ( a+b \right )^2-2ab}{a^2b^2}=\frac{\left ( a+b \right )^2-\dfrac{2}{3}\left ( a+b+1 \right )}{\dfrac{1}{9}\left ( a+b+1 \right )^2}=\frac{-\dfrac{6}{\left ( a+b \right )^2}-\dfrac{6}{\left ( a+b \right )}+9}{\left ( 1+\dfrac{1}{a+b} \right )^2}$$

Có: $a+b+1=3ab\leq \frac{3\left ( a+b \right )^2}{4}\Rightarrow \frac{1}{a+b}\leq \frac{1}{2}$. Đặt $t=\frac{1}{a+b}$ với $t\in\left ( 0;\frac{1}{2} \right ]$

$$P=f\left ( t \right )=\frac{27}{4\left ( t+1 \right )^2}+\frac{6t^2+6t-9}{\left ( t+1 \right )^2}$$

$$f\left ( t \right )=\frac{12t+21}{2\left ( t+1 \right )^3}>0\ \forall t\in \left ( 0;\frac{1}{2} \right ]$$

$$\Rightarrow P=f\left ( t \right )\leq f\left ( \frac{1}{2} \right] =1$$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Love Inequalities: 18-11-2015 - 19:49





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh