Chủ đề này có 389 trả lời

[hoanglong2k]

Cho a, b, c, d > 0. Tìm GTNN của $P=\left ( 1+\frac{2a}{3b} \right )\left ( 1+\frac{2b}{3c} \right )\left ( 1+\frac{2c}{3d} \right )\left ( 1+\frac{2d}{3a} \right )$

Theo Holder thì : 

 $P\geq \left ( 1+\frac{2}{3} \right )^4=\frac{625}{81}$

Sử sụng Cauchy-Schwarz cũng được :

  $P\geq \left ( 1+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{a}{c}} \right )^2.\left ( 1+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{c}{a}} \right )^2\geq \left ( 1+\frac{2}{3} \right )^4$

Hoặc dùng AM-GM bình thường ta có :

 $P=\prod \left ( 1+\frac{2a}{3b} \right )=\prod \left ( \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{a}{3b}+\frac{a}{3b} \right )$

       $\geq \prod \left ( \frac{5}{3}.\sqrt[5]{\frac{a^2}{b^2}} \right )=\frac{625}{81}$

Dấu "=" khi $a=b=c=d$

[25 minutes]

Bài 3: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng $\frac{a}{(b+c)^{3}}+\frac{b}{(c+a)^{3}}+\frac{c}{(a+b)^{3}}\geq \frac{27}{8(a+b+c)^{2}}$

Bài 4: Cho a, b, c không âm. Chứng minh rằng $\left ( 1+\frac{4a}{b+c} \right )\left ( 1+\frac{4b}{c+a} \right )\left ( 1+\frac{4c}{a+b} \right )\geq 25$

Bài 1: Không đồng bậc em e không làm được đâu ạ.

Bài 2: BĐT tương đương với 

    $(4a+b+c)(4b+a+c)(4c+a+b)\geqslant 25(a+b)(b+c)(c+a)$

Chuẩn hoá cho $a+b+c=1$, BĐT tương đương 

   $(3a+1)(3b+1)(3c+1)\geqslant 25(1-a)(1-b)(1-c)$

$\Leftrightarrow 13abc+1\geqslant 4(ab+bc+ca)$

Sử dụng $(a+b+c)^2=1$, ta được

      $\Leftrightarrow 13abc+a^2+b^2+c^2\geqslant 2(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow 13abc+2(a^2+b^2+c^2)\geqslant 1$

Đặt $abc=r, ab+bc+ca=q$, bđt trở thành $13r+2(1-2q) \geqslant 1$

+) Nếu $q<\frac{1}{4}\Rightarrow 13r+2(1-2q)>1$

Vậy ta có đcpm

+) Nếu $q\geqslant \frac{1}{4}$

Áp dụng Schur bậc $3$ ta có $13r\geqslant \frac{13(4pq-p^3)}{9}=\frac{13(4q-1)}{9}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh 

         $\frac{13(4q-1)}{9}+2(1-2q)\geqslant 1\Leftrightarrow q\geqslant \frac{1}{4}$

Vậy ta có đcpm

Đẳng thức xảy ra khi $a=0, b=c>0$ và hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 17-05-2015 - 05:20

[25 minutes]

Cho $\sum a^{2}=5$ va a,b,c>=0 min va max

 

$P=(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$

Tham khảo ở đây

[Ngoc Hung]

Bài 3: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng $\frac{a}{(b+c)^{3}}+\frac{b}{(c+a)^{3}}+\frac{c}{(a+b)^{3}}\geq \frac{27}{8(a+b+c)^{2}}$

 

Chuẩn hóa a + b + c = 1 và sử dụng bất đẳng thức AM - GM ta có 

$\frac{a}{(b+c)^{3}}=\frac{a}{(1-a)^{3}}=\frac{2a^{2}}{2a(1-a)(1-a)(1-a)}\geq \frac{2a^{2}}{\left [ \frac{2a+(1-a)+(1-a)}{3} \right ]^{3}(1-a)}=\frac{27a^{2}}{4(1-a)}$

Tương tự ta có $\frac{a}{(b+c)^{3}}+\frac{b}{(c+a)^{3}}+\frac{c}{(a+b)^{3}}\geq \frac{27}{4}\left [ \frac{a^{2}}{1-a}+\frac{b^{2}}{1-b}+\frac{c^{2}}{1-c} \right ]\geq \frac{27}{4}\left [ \frac{(a+b+c)^{2}}{3-(a+b+c)} \right ]=\frac{27}{8}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 18-05-2015 - 04:30

[25 minutes]

Em xin góp 1 bài chưa thấy ai giải bên topic  này http://diendantoanho...ẳng-thức/page-3

Cho x,y,z là 3 số thực thuộc đoạn $[1;3]$ và x+y+2z=6. TÌm min, max $P=x^{3}+y^{3}+5z^{3}$

Dễ thấy $x,y$ đối xứng nên ta sẽ đưa biểu thức về hàm biến $1 \leqslant z \leqslant 2$

Ta có $P=(x+y)^3-3xy(x+y)+5z^3=(6-2z)^3-3xy(6-2z)+5z^3$

Do $x,y \geqslant 1$ nên $xy \geqslant x+y-1=6-2z-1=5-2z$

Do đó $P\leqslant (6-2z)^3-3(5-2z)(6-2z)+5z^3=-3z^3+60z^2-150z+126=f(z)$

$\Rightarrow f'(z)=-9z^2+120z-150>0, z \in [1;2]$

$\Rightarrow f(z)\leqslant f(2)=42$

GTLN của $P$ là $42$ tại $x=y=1, z=2$

 

 

Áp dụng BĐT Holder ta có 

 $(x^3+y^3+5z^3)(1+1+\sqrt{\frac{8}{5}})(1+1+\sqrt{\frac{8}{5}})\geqslant (x+y+2z)^3$

[Ngoc Hung]

Bài 7: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng $\frac{\sqrt{3\left ( a^{2} +b^{2}+c^{2}\right )}}{3abc}\geq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{ab+bc+ca}$

 

Chuẩn hóa $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3$. Ta cần chứng minh $ab+bc+ca\geq abc\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right )$

Theo AM-GM ta có $3=a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3abc\Rightarrow abc\leq 1$

Mặt khác $ab+bc+ca-\sqrt{abc}\left ( \sqrt{a} +\sqrt{b}+\sqrt{c}\right )=\frac{1}{2}\left [ a\left ( \sqrt{b}-\sqrt{c} \right )^{2}+b\left ( \sqrt{c}-\sqrt{a} \right )^{2}+c\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )^{2} \right ]\geq 0\Rightarrow ab+bc+ca\geq \sqrt{abc}\left ( \sqrt{a} +\sqrt{b}+\sqrt{c}\right )\geq abc\left ( \sqrt{a} +\sqrt{b}+\sqrt{c}\right )$

[barcavodich]

Góp vui cho page $1$ bài vui vui )

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=0$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=3^{|x-y|}+3^{|y-z|}+3^{|z-x|}-\sqrt{6x^2+6y^2+6z^2}$

Mọi người chém nhiệt tình nhé :]]]]

[25 minutes]

Góp vui cho page $1$ bài vui vui )

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=0$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=3^{|x-y|}+3^{|y-z|}+3^{|z-x|}-\sqrt{6x^2+6y^2+6z^2}$

Mọi người chém nhiệt tình nhé :]]]]

Đề khối A - 2012

Hình gửi kèm

• 

[barcavodich]

Cách khác cho $1$ bài toán đẹp

Do $x+y+z=0$ nên sẽ có $2$ số cùng dấu 

Giả sử $xy\geq 0$;$z= -(x+y)$

Ta có

$P=3^{|x-y|}+3^{|2y+x|}+3^{|2x+y|}-\sqrt{12[(x+y)^2-xy]}\geq 3^{x-y}+2.3^{\frac{|2x+y|+|2y+x|}{2}}-\sqrt{12[(x+y)^2-xy]}$

$\rightarrow P\geq 3^{|x-y|}+2.3^{\frac{3|x+y|}{2}}-2\sqrt{3}|x+y|$

Đặt $t=|x+y|\geq 0$

Xét hàm số $f(t)=2(\sqrt{3})^{3t}-2\sqrt{3}t$

$f(t)'> 0$

$\rightarrow f(t)\geq f(0)=2$

Mà $3^{|x-y|}\geq 1$

$\Rightarrow P\geq 3$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=0$

Bài toán được giải quyết 

Q.E.D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi barcavodich: 28-05-2015 - 16:58

[ducvipdh12]

Cho x,y là hai số thực dương thỏa mãn $xy\geq 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :

$M=\frac{x}{1+y}+\frac{y}{1+x}+\frac{1}{1+xy}$

Ta có:

$M\geq \frac{2\sqrt{xy}}{1+\sqrt{xy}}+\frac{1}{1+xy}$

Đặt $t=\sqrt{xy}\geq 1$ rồi khảo sát hàm là ra

[Truong Gia Bao]

Giúp mình 3 câu này nha ^^~1.jpg2.jpg3.jpg

câu 2:

[Truong Gia Bao]

Câu 3: (Thực sự thì với 4 số là ko có sự khác biệt)

[25 minutes]

Đây là 7 trong số rất ít các bài trên diễn điền mà cách làm của nó mang đậm tích chất thi ĐH mấy năm gần đây - sử dụng đạo hàm. 7 bài này cũng đã được giải trong các trang trước của Topic này, nên mọi người xem qua tham khảo, không post lời giải. Biết đâu năm nay trúng đề thì lại hay

 

Hình gửi kèm

• 

[25 minutes]

đóng góp thêm bài

cho x,y,z $> 0$   sao cho $x^{2} +y^{2}+z^{2}=3$

tìm max $P= xy+yz+zx+\frac{5}{x+y+z}$

Đặt $t=x+y+z, t \in (\sqrt{3} ; 3]$

Khi đó $P=f(t)=\frac{t^2-3}{2}+\frac{5}{t}$

Khảo sát $f(t)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 25 minutes: 03-07-2015 - 14:26

[25 minutes]

Bài 1:Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz+x+y-z=0.$ Tìm GTLN của biểu thức :

$$P=\dfrac{2}{x^2+1}+\dfrac{3}{y^2+1}-\dfrac{2}{z^2+1}$$

Bài 2:Cho 2 số thực không âm $x,y$ thỏa mãn $x^2+y^2+xy=3.$ Tìm GTNN,GTLN của biểu thức 

$$P=x^3+y^3-(x^2+y^2)$$

 

Bài 1: Tham khảo ở đây http://diendantoanho...c31y2-frac21z2/

Có cách đại số và cách lượng giác khá hay.

Bài 2: Đặt $t=x+y$, khi đó $t \in [\sqrt{3};2], xy=t^2-3$

Khi đó $P=(x+y)^3-3xy(x+y)-(x+y)^2+2xy=t^3-3(t^2-3).t-t^2+2(t^2-3)=-2t^3+t^2+9t-6=f(t)$

Lập bảng biến thiên ta có 

$0=f(2)\leqslant f(t)\leqslant f(\sqrt{3})=3\sqrt{3}-3$

[25 minutes]

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=2$. Tìm Max $S=\sum \sqrt{a^2+a+4}$

Tham khảo cách này

[caybutbixanh]

Bài 3: Tùy theo tham số $m,$ tìm GTNN của $P= (x-2y+1)^2+(2x-my+3)^2.$ với $\forall x,y \in \mathbb{R}$

Bài 4:Cho hai số thực x,y thỏa mãn : $x^2+4y^2=1.$ Tìm GTNN, GTLN của $P=\dfrac{(x+1)^2+4y(x+y+1)}{x+2(y+1)}$

[taitueltv]

Bài 5 Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$P=(a-b)(b-c)(c-a)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 25 minutes: 25-07-2015 - 15:36

[25 minutes]

Bài 8 Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$P=(a-b)(b-c)(c-a)$$

Bạn nên đánh đúng số thứ tự của bài nhé.

Bài này đã đăng trong Topic, bạn có thể xem các lời giải đằng trước, có nhiều bài rất hay.

[25 minutes]

 

Bài 4:Cho hai số thực x,y thỏa mãn : $x^2+4y^2=1.$ Tìm GTNN, GTLN của $P=\dfrac{(x+1)^2+4y(x+y+1)}{x+2(y+1)}$

Ta có $P=\frac{(x+2y+1)^2}{x+2y+2}=\frac{(t+1)^2}{t+2}=f(t)$

Áp dụng C-S ta có 

      $t^2=(x+2y)^2\leqslant 2(x^2+4y^2)=2\Rightarrow t \in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$

Sau đó khảo sát hàm $f(t)$