Cho các số thực x,y,z $\in$ $\left [ 0;1 \right ]$ .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
P= $\frac{x^{3}+2}{y^{2}+1}+\frac{y^{3}+2}{z^{2}+1}+\frac{z^{3}+2}{x^{2}+1}$
Cuối cùng sau bao gian nan, tìm tòi, hỏi thầy hỏi bạn cuối cùng cũng có lời giải bài này :
Lời giải:
từ giả thiết suy ra $x^3 \leq x^2$ do vậy ( để đồng bậc ):$\frac{x^3+2}{y^2+1} \leq \frac{x^2+2}{y^2+1}$ ( Dấu "=" xảy ra khi x=0 hoặc x=1)
Mà $(x^2+2)\frac{1+y^2-y^2}{y^2+1}=(x^2+2).(1-\frac{y^2}{y^2+1}) \leq (x^2+2).(1-\frac{y^2}{2}) (y \leq 1\Rightarrow y^2 \leq 1)$
Suy ra :$\frac{x^3+2}{y^2+1} \leq (x^2+2)(1-\frac{y^2}{2})=x^2+2-y^2-\frac{x^2y^2}{2}.$
( Dấu "=" xảy ra khi y=0 hoặc y=1)
Thiết lập tương tự, ta có :