Đến nội dung

Hình ảnh

Bất đẳng thức chuẩn bị cho kì thi THPTQG 2015-2016


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 389 trả lời

#81
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Bài 46:Cho $a,b,c$ là độ dài của ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng $3.$

Tìm $GTNN$ của biểu thức $P$$=$$\frac{(a+b-c)^{3}}{2c}$+$\frac{(b+c-a)^{3}}{2a}$+$\frac{(c+a-b)^{3}}{2b}$

Áp dụng bất đẳng thức sau : $\frac{a_1^3}{b_1}+\frac{a_2^3}{b_2}+\frac{a_3^3}{b_3}\geqslant \frac{(a_1+a_2+a_3)^3}{3(b_1+b_2+b_3)}$

Ta có ngay $\sum \frac{(a+b-c)^3}{2c}\geqslant \frac{(a+b+c)^3}{6(a+b+c)}=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#82
daicahuyvn

daicahuyvn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết


 

Bài 44: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh $\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}+8\sqrt[3]{abc}\le 9.$

Đặt $\sqrt[3]{abc}=t(0<t\le 1)$

$a^3+b^3+c^3=3abc+(a+b+c)[(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)]=3abc+9(3-ab-bc-ca)\le 3abc+9(3-3\sqrt[3]{a^2b^2c^2})=3t^3+27(1-t^2)$

$\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}+8\sqrt[3]{abc}\le \sqrt[3]{t^3+9(1-t^2)}+8t=f(t)$

$f(t)\le 9 \Leftrightarrow t^3-9t^2+9\le (9-8t)^3\Leftrightarrow (t-1)(3t-4)(171t-180)\le 0$ (Đúng )

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daicahuyvn: 24-08-2013 - 18:49


#83
xxSneezixx

xxSneezixx

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết

Bài 47:  Cho a, b, c  > 0. Chứng minh:$ \frac{ab}{3a+4b+5c}+ \frac{bc}{3b+ 4c+5a}+ \frac{ca}{3c+4a+5b}\leq \frac{a+b+c}{12}$

 


$$\mathfrak{Curiosity}$$

 


#84
hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết

Bài 48:Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z>0.$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^{3}+y^{3}+16z^{3}}{(x+y+z)^{3}}$


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#85
hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết

Bài 49:Cho hai số thực $x,y$ thay đổi và thỏa mãn $(x+2)^{2}+(y+2)^{2}=7.$

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=$$\sqrt[3]{x(x+4)+5}+\sqrt[3]{y(y+4)+5}$


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#86
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Bài 48:Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z>0.$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^{3}+y^{3}+16z^{3}}{(x+y+z)^{3}}$

Tham khảo tại đây


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#87
xxSneezixx

xxSneezixx

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết

Bài 50 : Cho $a, b, c >0$ sao cho $ \frac{1}{a^{3}}+ \frac{1}{b^{3}}+ \frac{1}{c^{3}}=3$. Chứng minh $abc \geq \frac{a+b+c}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xxSneezixx: 25-08-2013 - 17:02

$$\mathfrak{Curiosity}$$

 


#88
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Bài 50 : Cho $a, b, c >0$ sao cho $ \frac{1}{a^{3}}+ \frac{1}{b^{3}}+ \frac{1}{c^{3}}=3$. Chứng minh $abc \geq \frac{a+b+c}{3}$

BĐT $\Leftrightarrow 3\geqslant \frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$

Đặt $(\frac{1}{a^3},\frac{1}{b^3},\frac{1}{c^3})\rightarrow (x,y,z)\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3$

Ta cần chứng minh $3 \geqslant xy+yz+zx$

Áp dụng AM-GM ta có $x^3+y^3+1 \geqslant 3xy$

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c=1$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#89
daicahuyvn

daicahuyvn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

Bài 47:  Cho a, b, c  > 0. Chứng minh:$ \frac{ab}{3a+4b+5c}+ \frac{bc}{3b+ 4c+5a}+ \frac{ca}{3c+4a+5b}\leq \frac{a+b+c}{12}$

$\frac{ab}{3a+4b+5c}\le \frac{ab}{16(a+b+c)}+\frac{9ab}{16(2a+3b+4c)}$

$\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}\le \frac{a+b+c}{3}$

Chỉ cần Cm:$\frac{ab}{2a+3b+4c}+\frac{bc}{2b+3c+4a}+\frac{ca}{2c+3a+4b}\le \frac{a+b+c}{9}$

$\frac{25^2}{4a+9b+12c}+\frac{2^2}{2a}\ge \frac{27^2}{6a+9b+12c}=\frac{243}{2a+3b+4c}$

$\Rightarrow \frac{ab}{2a+3b+4c}\le \frac{625ab}{243(4a+9b+12c)}+\frac{2}{243}b$

Cần CM: $\frac{ab}{4a+9b+12c}+\frac{bc}{4b+9c+12a}+\frac{ca}{4c+9a+12b}\le \frac{a+b+c}{25}$

$\frac{ab}{4a+9b+12c}=\frac{ab}{2(2a+3c)+3(2c+3b)}\le \frac{2ab}{25(2a+3c)}+\frac{3ab}{25(2c+3b)}$

$\Rightarrow 25\sum \frac{ab}{4a+9b+12c}\le \sum (\frac{2ab}{2a+3c}+\frac{3ab}{2c+3b})=\sum (\frac{2ab}{2a+3c}+\frac{3bc}{2a+3c})=a+b+c$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c.



#90
daicahuyvn

daicahuyvn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

Bài 49:Cho hai số thực $x,y$ thay đổi và thỏa mãn $(x+2)^{2}+(y+2)^{2}=7.$

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=$$\sqrt[3]{x(x+4)+5}+\sqrt[3]{y(y+4)+5}$

$P=\sqrt[3]{(x+2)^2+1}+\sqrt[3]{(y+2)^2+1}\le 2\sqrt[3]{\frac{(x+2)^2+1+(y+2)^2+1}{2}}=\sqrt[3]{36}$

$x=y=\frac{-4+\sqrt{12}}{2}\rightarrow P=\sqrt[3]{36}$

$\max P=\sqrt[3]{36}$

$a=(x+2)^2(0\le a\le 7)$

$P=\sqrt[3]{a+1}+\sqrt[3]{8-a}=f(a)$

$(a+1)(8-a)=a(7-a)+8\ge 8$

$P^3=9+3P\sqrt[3]{(a+1)(8-a)}\ge 9+6P\Rightarrow P^3-6P-9=(P-3)(P^2+3P+3)\ge 0\Rightarrow P\ge 3$

$x=-2,y=-2+\sqrt7\rightarrow P=3$

$\min P=3$



#91
tiendatlhp

tiendatlhp

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 35 Bài viết

BÀI 51: Cho a,b là các số dương thỏa mãn $a\neq b,a^{2}+2b=12$. Tìm giá trị nhỏ nhất của P=$\frac{4}{a^{4}}+\frac{4}{b^{4}}+\frac{5}{8(a-b)^{2}}$



#92
hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết
Bài 52:Cho $a,b,c >0$ thoả mãn $(a+b+c)^{3}=32abc$.
Chứng minh rằng: $\frac{383-165\sqrt{5}}{2}$$ \leq$$\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{(a+b+c)^{4}}$$\leq$$\frac{9}{128}$


Bài 53:Cho $a,b \in R,a>0.$Tìm giá trị nhỏ nhất của $A$$=$$(a-b)^{2}+(lna-b)^{2}$


Bài 54:Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa $a+b+c=1.$Chứng minh rằng:
$-\frac{\sqrt{3}}{18}$$\leq$$(a-b)(b-c)(c-a)$$\leq \frac{\sqrt{3}}{18}$


Bài 55:Cho $a,b,c$ và $abc=1.$Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^{2}-a+1}$+ $\frac{1}{b^{2}-b+1}$+ $ \frac{1}{c^{2}-c+1}$ $\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 30-08-2013 - 10:13

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#93
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Bài 54:Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa $a+b+c=1.$Chứng minh rằng:

                      $-\frac{\sqrt{3}}{18}$$\leq$$(a-b)(b-c)(c-a)$$\leq \frac{\sqrt{3}}{18}$

Lời giải. Bất đẳng thức tương đương với việc chứng minh $(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2 \le \frac{1}{108}$.

Không mất tính tổng quát, giả sử $a \ge b \ge c$. Khi đó $(b-c)^2 \le b^2, (a-c)^2 \le a^2$. Ta cần chứng minh $$4a^2b^2(a-b)^2 \le \frac{1}{27}.$$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có $$\begin{aligned}4a^2b^2(a-b)^2 & = (2ab) \cdot (2ab) \cdot (a^2-2ab+b^2) \\ & \le \frac{(a^2+2ab+b^2)^3}{27} = \frac{(a+b)^6}{27} \\ & \le \frac{(a+b+c)^6}{27}= \frac{1}{27}  \end{aligned} $$

Bất đẳng thức được chứng minh.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\begin{cases} c=0 \\ a+b=1 \\ a^2+b^2-4ab=0 \end{cases} \Leftrightarrow (a,b,c)= \left( \frac{3+ \sqrt 3}{6}, \frac{3- \sqrt 3}{6}, 0 \right)$ và các hoán vị tương ứng.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 28-08-2013 - 15:29

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#94
hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết
Bài 56:Cho $x,y,z \in [1;3].$Tìm $GTNN$ của $P=$$\frac{36x}{yz}+\frac{2y}{xz}+\frac{z}{xy}$


Bài 57:Cho $a,b,c >0$ và $ab+bc+ca+abc=4.$Chứng minh rằng $a+b+c \geq ab+bc+ca$

MOD: Nếu bạn post nhiều bài cùng một lúc thì post trong cùng 1 post không post rời rạc từng bài nhỏ !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 30-08-2013 - 10:14

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#95
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Bài 57:Cho $a,b,c >0$ và $ab+bc+ca+abc=4.$Chứng minh rằng $a+b+c \geq ab+bc+ca$

Xem tại đây.


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#96
daicahuyvn

daicahuyvn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

BÀI 51: Cho a,b là các số dương thỏa mãn $a\neq b,a^{2}+2b=12$. Tìm giá trị nhỏ nhất của P=$\frac{4}{a^{4}}+\frac{4}{b^{4}}+\frac{5}{8(a-b)^{2}}$

$8a^2b^2=2a^2(12-a^2)(12-a^2)\le (\frac{2a^2+12-a^2+12-a^2}{3})^3=8^3\Rightarrow ab\le 8$

$P\ge \frac{a^2b^2}{64}(\frac{4}{a^4}+\frac{4}{b^4})+\frac{5ab}{64(a-b)^2}=\frac{1}{16}(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})+\frac{5}{64(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2)}$

$t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}(t\ge 2)$

$P\ge \frac{t^2}{16}-\frac{1}{8}+\frac{5}{64(t-2)}=\frac{4t^2-8t^2-8t+21}{64(t-2)}=f(t)$

$f(t)\ge \frac{27}{64}\Leftrightarrow (2t-5)^2(t+3)\ge 0$

$P=\frac{27}{64}\Leftrightarrow a=2,b=4$

$\min P=\frac{27}{64}$



#97
daicahuyvn

daicahuyvn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết


Bài 52:Cho $a,b,c >0$ thoả mãn $(a+b+c)^{3}=32abc$.

Chứng minh rằng: $\frac{383-165\sqrt{5}}{2}$$ \leq$$\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{(a+b+c)^{4}}$$\leq$$\frac{9}{128}$ 

Chuẩn hóa a+b+c=4,abc=2

$a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)]^2-2(ab+bc+ca)^2+4abc(a+b+c)$

Đặt $ab+bc+ca=t$

Xét phương trình :$f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-4x^2+tx-2=0$(*)

$f'(x)=3x^2-8x+t=0\Leftrightarrow x=\frac{4\pm \sqrt{16-3t}}{3}$

f(x) có 3 nghiệm thực $\Leftrightarrow f(\frac{4-\sqrt{16-3t}}{3})\ge 0, f(\frac{4+\sqrt{16-3t}}{3})\le 0$

$\sqrt{16-3t}=y(0\le y \le 4)\Rightarrow t=\frac{16-y^2}{3}$

$f(x)=f'(x)(\frac{x}{3}-\frac{4}{9})+(\frac{2t}{3}-\frac{32}{9})x+\frac{4t}{9}-2$

$f(\frac{4-y}{3})\ge 0 \Leftrightarrow \frac{-2y^2}{9}.\frac{4-y}{3}+\frac{4}{9}.\frac{16-y^2}{3}-2\ge 0\Leftrightarrow (y-1)(y^2-5y-5)\ge 0\Rightarrow y\le 1\Rightarrow t\ge 5$

Tương tự ,$t\le \frac{5\sqrt{5}-1}{2}$

$256P=a^4+b^4+c^4=(16-2t)^2-2t^2+32=2(t^2-32t+144)=2(16-t)^2-224=g(t)$

$ g(\frac{5\sqrt{5}-1}{2})\le g(t)\le g(5)$

$\Rightarrow $ đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daicahuyvn: 29-08-2013 - 19:46


#98
daicahuyvn

daicahuyvn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

Bài 53:Cho $a,b \in R,a>0.$Tìm giá trị nhỏ nhất của $A$$=$$(a-b)^{2}+(lna-b)^{2}$

$A\ge \frac{(a-\ln a)^2}{2}\ge \frac{1}{2}$

$A=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=1,b=\frac{1}{2}$

$\min P=\frac{1}{2}$



#99
daicahuyvn

daicahuyvn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

Bài 55:Cho $a,b,c$ và $abc=1.$Chứng minh rằng:

                    $\frac{1}{a^{2}-a+1}$+   $\frac{1}{b^{2}-b+1}$+  $ \frac{1}{c^{2}-c+1}$ $\geq 1$

p=a+b+c,q=ab+bc+ca

$\frac{1}{a^2-a+1}+\frac{1}{b^2-b+1}+\frac{1}{c^2-c+1}\ge 1$

$\Leftrightarrow p^2-2p-q-2\ge 0$

$p^2-2p-q-2\ge p^2-2p-\frac{p^2}{3}-2=\frac{2(p^2-3p+3)}{3}>0$



#100
phanquockhanh

phanquockhanh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
Bài 58: Cho $\ x, y>0$ thỏa mãn $\ x+y \leq 1$. Tìm GTNN của biểu thức:
 
$\ P=\sqrt{4x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{4y^2+\dfrac{1}{y^2}}-\dfrac{x}{x^2+1}-\dfrac{y}{y^2+1}$
(Đề thi thử Đại học lần 2 - Chuyên Lê Qúy Đôn, Vũng Tàu)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 31-08-2013 - 20:55





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh