Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$x^{3}+y^{3}+z^{3}=nx^{2}y^{2}z^{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 27-07-2013 - 16:24

Tìm $n$ nguyên dương sao cho phương trình $x^{3}+y^{3}+z^{3}=nx^{2}y^{2}z^{2}$ có nghiệm nguyên dương. Với các giá trị vừa tìm được của $n$, hãy giải phương trình trên.

 

 

 

 

 

 

 



#2 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1862 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 01-02-2016 - 18:58

PT $x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2$ (*)
Không mất tỉnh tổng quát . Giả sử $x \ge y \ge z$ 
Xét $x=1$ suy ra $y=z=1$ và $n=3$  
Bây giờ ta xét $x \ge 2$ 
Như vậy thì theo phương trình $(*)$ thì 
$x^3+y^3+z^3 \ge (xyz)^2$ . Chia cả $2$ vế cho $x^3$ ta được : 
$\frac{y^3+z^3}{x^3} \ge \frac{(yz)^2}{x}-1$ (2)
Mà $\frac{y^3+z^3}{x^3} \le 2$ 
Suy ra $x \ge \frac{(yz)^2}{3}$ 
Mà ta lại có $x^2|(y^3+z^3)$ nên $2y^3 \ge y^3+z^3 \ge x^2$ 
Từ đó ta được $\frac{y^4z^4}{9} \le x^2 \le 2y^3$
Suy ra $yz^4 \le 18 \Leftrightarrow z \le \sqrt[4]{18}$ từ đó ta có $z <2$ 
Suy ra $z=1$ 
Thế vào (2) ta có : $\frac{y^2}{x}-1 \le {y^3+1}{x^3} \le 1+\frac{1}{x^3}$ 
Suy ra $y^2 \le 2x+\frac{1}{x^2} \le 2x+\frac{1}{4}$  
Suy ra $2x \ge y^2-\frac{1}{4}>y^2$ suy ra $x \ge \frac{y^2}{2}$ (3)
Mà $y^3+z^3 \ge x^2$ suy ra $y^3+1 \ge x^2$
Lại từ (3) ta có $x^2 \ge \frac{y^4}{4}$ 
Từ đó suy ra $y^3+1 \ge x^2 \ge \frac{y^4}{4}$ 
$(2x)^{\frac{3}{2}} \ge y^3$
Ta có bất phương trình $(2x)^{\frac{3}{2}}+1 \ge x^3$ 
Suy ra $x \le 2$ 
Đến đây ta sử dụng bất phương trình $x \ge \frac{y^2}{2}$ rồi tìm ra $n$ :) 
Bài toán được giải quyết. 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 01-02-2016 - 18:58


#3 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1862 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 11-02-2016 - 15:40

Hong Kong MO 2001






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh