Đến nội dung

Hình ảnh

$x^{3}+y^{3}+z^{3}=nx^{2}y^{2}z^{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết

Tìm $n$ nguyên dương sao cho phương trình $x^{3}+y^{3}+z^{3}=nx^{2}y^{2}z^{2}$ có nghiệm nguyên dương. Với các giá trị vừa tìm được của $n$, hãy giải phương trình trên.

 

 

 

 

 

 

 



#2
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

PT $x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2$ (*)
Không mất tỉnh tổng quát . Giả sử $x \ge y \ge z$ 
Xét $x=1$ suy ra $y=z=1$ và $n=3$  
Bây giờ ta xét $x \ge 2$ 
Như vậy thì theo phương trình $(*)$ thì 
$x^3+y^3+z^3 \ge (xyz)^2$ . Chia cả $2$ vế cho $x^3$ ta được : 
$\frac{y^3+z^3}{x^3} \ge \frac{(yz)^2}{x}-1$ (2)
Mà $\frac{y^3+z^3}{x^3} \le 2$ 
Suy ra $x \ge \frac{(yz)^2}{3}$ 
Mà ta lại có $x^2|(y^3+z^3)$ nên $2y^3 \ge y^3+z^3 \ge x^2$ 
Từ đó ta được $\frac{y^4z^4}{9} \le x^2 \le 2y^3$
Suy ra $yz^4 \le 18 \Leftrightarrow z \le \sqrt[4]{18}$ từ đó ta có $z <2$ 
Suy ra $z=1$ 
Thế vào (2) ta có : $\frac{y^2}{x}-1 \le {y^3+1}{x^3} \le 1+\frac{1}{x^3}$ 
Suy ra $y^2 \le 2x+\frac{1}{x^2} \le 2x+\frac{1}{4}$  
Suy ra $2x \ge y^2-\frac{1}{4}>y^2$ suy ra $x \ge \frac{y^2}{2}$ (3)
Mà $y^3+z^3 \ge x^2$ suy ra $y^3+1 \ge x^2$
Lại từ (3) ta có $x^2 \ge \frac{y^4}{4}$ 
Từ đó suy ra $y^3+1 \ge x^2 \ge \frac{y^4}{4}$ 
$(2x)^{\frac{3}{2}} \ge y^3$
Ta có bất phương trình $(2x)^{\frac{3}{2}}+1 \ge x^3$ 
Suy ra $x \le 2$ 
Đến đây ta sử dụng bất phương trình $x \ge \frac{y^2}{2}$ rồi tìm ra $n$ :) 
Bài toán được giải quyết. 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 01-02-2016 - 18:58


#3
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Hong Kong MO 2001






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh