Tìm $n$ nguyên dương sao cho phương trình $x^{3}+y^{3}+z^{3}=nx^{2}y^{2}z^{2}$ có nghiệm nguyên dương. Với các giá trị vừa tìm được của $n$, hãy giải phương trình trên.
PT $x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2$ (*)
Không mất tỉnh tổng quát . Giả sử $x \ge y \ge z$
Xét $x=1$ suy ra $y=z=1$ và $n=3$
Bây giờ ta xét $x \ge 2$
Như vậy thì theo phương trình $(*)$ thì
$x^3+y^3+z^3 \ge (xyz)^2$ . Chia cả $2$ vế cho $x^3$ ta được :
$\frac{y^3+z^3}{x^3} \ge \frac{(yz)^2}{x}-1$ (2)
Mà $\frac{y^3+z^3}{x^3} \le 2$
Suy ra $x \ge \frac{(yz)^2}{3}$
Mà ta lại có $x^2|(y^3+z^3)$ nên $2y^3 \ge y^3+z^3 \ge x^2$
Từ đó ta được $\frac{y^4z^4}{9} \le x^2 \le 2y^3$
Suy ra $yz^4 \le 18 \Leftrightarrow z \le \sqrt[4]{18}$ từ đó ta có $z <2$
Suy ra $z=1$
Thế vào (2) ta có : $\frac{y^2}{x}-1 \le {y^3+1}{x^3} \le 1+\frac{1}{x^3}$
Suy ra $y^2 \le 2x+\frac{1}{x^2} \le 2x+\frac{1}{4}$
Suy ra $2x \ge y^2-\frac{1}{4}>y^2$ suy ra $x \ge \frac{y^2}{2}$ (3)
Mà $y^3+z^3 \ge x^2$ suy ra $y^3+1 \ge x^2$
Lại từ (3) ta có $x^2 \ge \frac{y^4}{4}$
Từ đó suy ra $y^3+1 \ge x^2 \ge \frac{y^4}{4}$
$(2x)^{\frac{3}{2}} \ge y^3$
Ta có bất phương trình $(2x)^{\frac{3}{2}}+1 \ge x^3$
Suy ra $x \le 2$
Đến đây ta sử dụng bất phương trình $x \ge \frac{y^2}{2}$ rồi tìm ra $n$
Bài toán được giải quyết.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 01-02-2016 - 18:58
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh