Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tôpic nhận đề Phương trình nghiệm nguyên, đồng dư, chia hết.

mss 2014 số học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 30 trả lời

#21 Best Friend

Best Friend

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Đã gửi 02-08-2013 - 22:32

1. Họ và tên thật: Đinh Minh Hà

2. Đang học lớp 9A1, trường THCS Lâm Thao, huyện Lâm Thao, tỉnh Phú Thọ

3. Đề : Tìm các sô nguyên dương $a$ và $b$ $a\geq b$ sao cho các nghiệm của phương trình sau là sô nguyên : $x^{2}-abx+(a+b)=0$

4. Đáp án

Gọi $m,n$ là nghiệm nguyên của phương trình : $x^{2}-abx+(a+b)=0 (1)$ 

giả sử $m\geq n$

Áp dụng định lý Vi-et :

Ta có : $\left\{\begin{matrix} m+n=ab & & \\ mn=a+b & & \end{matrix}\right.(2)$

Do $a,b$ là các sô nguyên dương nên $m,n$ là các sô nguyên dương.

Trước hết ta sẽ chứng minh bồ để sau : 

$+)$ Nếu 2 sô nguyên lớn hơn 2 thì tích của chúng lớn hơn tổng của chúng .

Giả sử $a>2,b>2$$\Rightarrow ab>2b,ab>2a\Rightarrow 2ab>2(a+b)\Rightarrow ab>a+b$

Vậy $ab>a+b$

Áp dụng bổ đề trên với 4 số : $a,b,m,n$ thì ta có : $ab< a+b,mn< m+n\Rightarrow ab+mn< m+n+a+b$ vô lý.

Trái với điều (2)

Vậy trong 4 số $a,b,m,n$ có 1 số không lớn quá 2

Không mất tính tổng quát giả sử $n\leq 2$

$+)$ Nếu $n=1$ 

Từ $(2)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab=m+1 & & \\ a+b=m & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow ab-a-b=1\Leftrightarrow (a-1)(b-1)=2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-1=2 & & \\ b-1=1 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=3 & & \\ b=2 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow m=5$

$+)$ Nếu $n=2$

Từ $(2)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab=m+2 & & \\ a+b=2m & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 2ab-a-b=4\Rightarrow 4ab-2a-2b=8\Leftrightarrow (2a-1)(2b-1)=9$

Như vậy ta có 2 trường hợp :

$\left\{\begin{matrix} 2a-1=9 & & \\ 2b-1=1 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=5 & & \\ b=1 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow m=3$

$\left\{\begin{matrix} 2a-1=3 & & \\ 2b-1=3 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=2 & & \\ b=2 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow m=2$

Kết luận : Vậy $(a,b)\in \left \{ (2;2),(5;1),(3;2) \right \}$ thì phương trình (1) có 2 nghiệm nguyên


Best Friend   :wub:  :wub:  :wub:  :wub:


#22 Simpson Joe Donald

Simpson Joe Donald

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh hoá
  • Sở thích:toán học, cờ vua, đá bóng, nghe nhạc,...nói chung là nhiều lắm

Đã gửi 03-08-2013 - 17:15

Họ tện: Dương Bá Linh

Lớp: 9

Trường thcs thọ thế.

Đề bài:

Tìm số bị chia, số chia và thương trong phép chia sau:
                   $$\overline{abcd} : \overline{dcba}= q$$
Biết 3 số đều là số chính phương.
Đáp án:
Vì 3 số đều là số chính phương nên ta có $\overline{abcd}=m^2 \ ; \ \overline{dcba}=n^2 \ ; \ q \in \{1;4;9\}$
$TH_1:$ Với $  q=1 \Rightarrow \overline{abcd}=\overline{dcba} \ \  (\text{loại})$
$TH_2:$ Với $ q=4 \Rightarrow \overline{abcd}=4\overline{dcba}$
$\Rightarrow m^2=4n^2 \Rightarrow m=2n $
 $\overline{abcd} \leq 9999 \Rightarrow \overline{dcba} \leq 2499 \Rightarrow d\in \{1;2\}$
$+, \ d=1 \Rightarrow$ m tận cùng là 1 (loại) vì m phải chẵn
$+,  \ d=2 \Rightarrow$ loại vì $\overline{abcd}$ chính phương
 
$TH_3:$ Với  $q=9 \Rightarrow \overline{abcd}=9\overline{dcba}$
 $\Rightarrow m=3n$
$\overline {abcd} \leq 9999 \Rightarrow \overline{dcba} \leq 1111$
$\Rightarrow d=1 \Rightarrow m$ tận cùng là 1 hoặc 9
$\Rightarrow n$ tận cùng là 7 hoặc 3
$\Rightarrow a=9$
Ta có:
$\overline{9bc1}=9.\overline{1cb9}$
$ \Leftrightarrow 9000+\overline{bc}.10+1=9(1000+\overline{cb}.10+9)$
 $\Leftrightarrow 81c=b-8$
 $\Rightarrow c=0,b=8$
Vậy số cần tìm là :  $\boxed{\overline{abcd}=9801 \ ; \ \overline{dcba}=1089 \ ; \ q=9}$

 

 

 

 


Câu nói bất hủ nhất của Joker  : 
Joker để dao vào mồm Gambol nói : Mày muốn biết vì sao tao có những vết sẹo trên mặt hay không ? Ông già tao là .............. 1 con sâu rượu, một con quỷ dữ. Và một đêm nọ , hắn trở nên điên loạn hơn bình thường . Mẹ tao vớ lấy con dao làm bếp để tự vệ . Hắn không thích thế ... không một chút nào . Vậy là tao chứng kiến ... cảnh hắn cầm con dao đi tới chỗ bà ấy , vừa chém xối xả vừa cười lớn . Hắn quay về phía tao và nói ... "Sao mày phải nghiêm túc?". Hắn thọc con dao vào miệng tao. "Hãy đặt nụ cười lên khuôn mặt nó nhé". Và ... "Sao mày phải nghiêm túc như vậy ?"


#23 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 03-08-2013 - 18:31

Họ và tên: Phạm Anh Quân 

Lớp: 9A1

Trường: THCS Lâm Thao

Đề bài: Tìm số nguyên tố x,y,z sao cho $5^{x}=4^{y}+3^{z}$

Đáp án:

+,Nếu x=2 nên y=z=2

+,Nếu x>2 $\Rightarrow$ $5^{x}$ tận cùng là 5

-,Nếu $4^{y}$ tận cùng là 4, $3^{z}$ tận cùng là 1 $\Rightarrow$ x,y,z lẻ

$\Rightarrow 5^{x}\equiv 2$ (mod 3) $4^{y}\equiv 1$ (mod 3) vô lí (loại)

-,Nếu $4^{y}$ tận cùng là 6 $\Rightarrow$ $3^{z}$ tận cùng là 9 $\Rightarrow$ y,z chẵn, y=z=2, x=2 (loại)

Vậy x=y=z=2


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#24 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-08-2013 - 21:57

Em đã nộp đề và đăng kí dự thi rồi nhưng em vẫn muốn đóng góp thêm cho diễn đàn:

1. Họ và tên thật:Nguyễn Khánh Toàn

2. Đang học lớp 9/3, trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm, Thành Phố Biên Hòa, tỉnh Đồng Nai

3. Đề : Giải phương trình nghiệm nguyên sau: $x^3+y^3+z^3=2011$

4. Đáp án: Ta có : $x^3\equiv 0;1;8(mod 9)$ ,$y^3\equiv 0;1;8(mod 9)$,$z^3\equiv 0;1;8(mod 9)$

=> VT$\equiv 0;1;2;3;6;7;8$ (mod 9) mà VP= 2011$\equiv 4 (mod9)$

Nên phương trình vô nghiệm nguyên



#25 tranducmanh2308

tranducmanh2308

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 79 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A2k43 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:xem phim,chơi bóng rổ, làm toán và lên FACE

Đã gửi 25-08-2013 - 11:09

Trần Đức Mạnh

Lớp 9A, trường THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Tỉnh Nghệ An

Đề bài:

1)Tìm nghiệm nguyên phương trình:

$x^{4}-2y^{2}=1$

Bài giải:

$x^{4}-2y^{2}=1$ (1)

Do x,y có số mũ chẵn nên ko mất tính tổng quát ta giả sử $x,y\geq 0$

Do 1 lẻ, $2y^{2}$ chẵn nên $x^{4}$ lẻ và x lẻ

$\Rightarrow x^{4}\equiv 1(mod 4)$

mà $1\equiv 1(mod 4)$

$\Leftrightarrow 2y^{2}\equiv 0(mod 4)$

$\Leftrightarrow y\equiv 0(mod2)$ nên y chẵn

Đặt $x=2a+1$

      $y=2b$     $(a,b\in N)$

Thay vào (1)

$(2a+1)^{4}-2(2b)^{2}=1$

$\Leftrightarrow (4a^{2}+4a+1)^{2}-1=8b^{2}$

$\Leftrightarrow 8(a^{2}+a)(a^{2}+a+1)=8b^{2}$

Đặt $a^{2}+a=n(n\in N)$

$\Leftrightarrow n(2n+1)=b^{2}$

Xét với a=0 $\Leftrightarrow x=1,y=0$

Xét với $a\geq 1$:

Gọi ước chung lớn nhất của n và 2n+1 là d $(d\in N)$

$\Leftrightarrow 2n+1\vdots d,n\vdots d$

$\Leftrightarrow 2n+1\vdots d,2n\vdots d$

$\Leftrightarrow 1\vdots d$

$\Leftrightarrow d=1$

$\Leftrightarrow (n,2n+1)=1$

mà tích của chúng là $b^{2}$ 

$\Leftrightarrow$ n,2n+1 là số chính phương

Đặt $n=k^{2}(k\in \mathbb{N})$

$\Leftrightarrow a^{2}+a=k^{2}$(vô lý do $a^{2}<a^{2}+a<a^{2}+2a+1=(a+1)^{2}$)

Vậy tập nghiệm nguyên phương trình là $(x,y)\in [(1;0);(-1;0)]$


:wub: >:) :wub: :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2:ĐÚNG THÌ LIKE :botay :like :botay SAI THÌ SỬA (SAI VẪN LIKE) :ph34r: @};- :ninja: :)) :blink: :P@@@


#26 Tran Nguyen Lan 1107

Tran Nguyen Lan 1107

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A1 THPT Phan Bội Châu TP Vinh Nghệ An

Đã gửi 28-08-2013 - 15:41

Họ và tên: Trần Nguyên Lân

Lớp 9A  trường THCS Đặng Thai Mai, thành phố Vinh, Nghệ An

Đề: Giải phương trình nghiệm nguyên:

$x^{3}+x^{2}+x+1=y^{3}$

Đáp án: Do $x^{2}+x+1> 0$ $\forall x$ (=$(x+\frac{1}{2})^{2}$+$\frac{3}{4}$)

Nên $x^{3}< y^{3}$ suy ra x< y

.)Với y=x+1 ta có:

$x^{3}+x^{2}+x+1=(x+1)^{3}$

Suy ra: $(x+1)(x^{2}+1-(x+1)^{2})=0$

            $-2x(x+1)$=0

Suy ra: x=0 hoặc x=1 tương đương y=1 hoặc y=2

.)Với x+1<y

Ta có: $x^{3}+x^{2}+x+1>(x+1)^{3}=x^{3}+3x^{2}+3x+1$ 

nên $2(x^{2}+x)<0$ hay x(x+1)<0 tương đương với -1<x<0

Mà do x nguyên nên vô nghiệm

Vậy phương trình chỉ có duy nhất 2 cặp nghiệm(x;y)=(0;1)và(1;2)



#27 4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 29-08-2013 - 20:12

họ và tên Nguyễn Thanh Bình lớp 9A1 thcs LÂM thao 

huyện Lâm thao tỉnh phú thọ 

đề bài :

giải phương trình nghiệm nguyên

31(xyzt+xy+xt+zt+1)=40(yzt+y+t)

đáp án:

ta có : $PT\Rightarrow \frac{40}{31}=\frac{xyzt+xy+xt+zt+1}{yzt+y+t}$(với yzt+y+t khác 0)

lại có $\frac{40}{31}=\frac{xyzt+xy+xt+zt+1}{yzt+y+t}\Leftrightarrow \frac{40}{31}=x+\frac{zt+1}{yzt+y+t}\Rightarrow 1+\frac{1}{\frac{31}{9}}= x+\frac{1}{\frac{yzt+y+t}{zt+1}}= x+\frac{1}{y+\frac{t}{zt+1}}= 1+\frac{1}{3+\frac{4}{9}}$

(với zt+1 khác 0)

tiếp tục với t khác 0:

$x+\frac{1}{y+\frac{t}{zt+1}}= 1+\frac{1}{3+\frac{4}{9}}\Rightarrow 1+\frac{1}{3+\frac{9}{4}}=x+ \frac{1}{y+\frac{1}{\frac{zt+1}{t}}}= x+\frac{1}{y+\frac{1}{z+\frac{1}{t}}}=1+\frac{1}{3+\frac{1}{2+\frac{1}{4}}}$

vì x,y,z,t là các số nguyên suy ra $x=1,y=3,z=2,t=4$


 B.F.H.Stone


#28 ngocnghech

ngocnghech

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-10-2013 - 16:19

1. Họ và tên thật: Nguyễn Quỳnh Anh

2. Đang học lớp 9B, trường Trưng Nhị, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội

3. Đề  chứng minh với mọi số tự nhiên n thì

(x$(x^{n}-1)(x^{n+!}-1)\vdots (x+1)(x-1)^{2}$

4. Đáp án

Vì n và n+1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên có một số chẵn một số lẻ

Đa thức bị chia có dạng

$(x^{2k}-1)(x^{2k+1}-1)=(x^{2}-1).A(x).(x-1).B(x) =(x+1)(x-1)^{2}.A(x).B(x)$



#29 John Carterer

John Carterer

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lương Thế Vinh (Đồng Nai)
  • Sở thích:Toán, anh

Đã gửi 05-11-2013 - 23:26

Họ và tên: Nguyễn Phước Hoàng Văn

Lớp: 9/5

Trường: THCS Lê Quý Đôn

Huyện: Cẩm Mỹ

Tỉnh: Đồng Nai

Đề: Chứng minh rằng A= $5^{n+2}+ 26 \times 5^{n} + 8 ^{2n+1}\vdots 59$ 

Bài giải

A= $25 \times 5 ^ {n} + 26 \times 5 ^ {n} + 8 \times 8^{2n}$

  = $51 \times 5^{n}+ 8 \times 64^{n}$

  = $\left ( 59 - 8 \right )\times 5 ^ {n} + 8 \times 64 ^{n}$

  = $59 \times 5 ^ {n} - 8 \times 5^{n}+ 8\times 64 ^ {n}$

  = $59 \times 5 ^{n} + 8 \times \left ( 64 ^{n}- 5^{n} \right )$

Do $64^ {n}- 5^{n}\vdots 64 -5 \left$ (công thức khai triển)

  $\Rightarrow 64^{n}-5^{n}\vdots 59$

  $\Rightarrow 64^{n}-5^n=59K \left (K \in \mathbb{N}\right )$

  $\Rightarrow A= 59 \times 5^{n}+8\times 59K$

                         = $59\times \left ( 5^{n}+8K \right )\vdots 59$ (đpcm)

Vậy A$\vdots 59$



#30 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Thành viên
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:Make more money

Đã gửi 07-11-2013 - 06:27

Họ và tên: Trương Việt Hoàng

Lớp 9A2:

Trường THCS Lê Quý Đôn-Thái Bình-Hà Nội.

Đề:Cho a,b,c là số nguyên tố thoả mãn: $a^{b}+b^{a}=c$

Lời giải:

Cách 1:Do a,b là số nguyên tố nên $a;b\geq 2$

=>$a^{b}+b^{a}\geq 8$

=>c là số nguyên tố lẻ.

=>a;b khác tính chẵn lẻ.

Giả sử $a^{b}$ chẵn. Do a là số nguyên tố =>$a=2$

.Nếu $b=3$=>$c=17$(thoả)

.Nếu $b\geq 5$=>$b^{2}$ chia 3 dư 1.

Do b là số nguyên tổ lớn hơn 3 =>b lẻ

=>$b=2k+1(k\epsilon \mathbb{Z})$

=>$2^{b}$ chia 3 dư 2.

=> VT $\vdots 3$

=>$c\vdots 3$(Vô lý do c>3)

Vậy (a,b,c)=(2,3,17);(3,2,17)

 

Cách 2:Do a,b là số nguyên tố nên $a;b\geq 2$

=>$a^{b}+b^{a}\geq 8$

=>c là số nguyên tố lẻ.

=>a;b khác tính chẵn lẻ.

Giả sử b=2

=>$a^{2}+2^{a}=c$

.Nếu $a=3$=>c=17(Thoả)

.Nếu $a\geq 5$=>$a^{2}$ có dạng $3m+1$($m\epsilon \mathbb{N}$)

.$2^{a}=(3-1)^{a}$

Vì a lẻ nên $(3-1)^{a}$ có dạng $3n-1$

=>$a^{2}+2^{a}=3(m+n)=c>3$

=>c là hợp số(Không thoả)

Vậy (a,b,c)=(2,3,17);(3,2,17)



#31 O0NgocDuy0O

O0NgocDuy0O

    Trung úy

  • Thành viên
  • 760 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:Làm BĐT, Hình học phẳng, Tổ hợp

Đã gửi 15-03-2015 - 10:19

Họ và tên: Đặng Vũ Ngọc Duy

Lớp: 8/3:

Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm tp Biên Hoà, tỉnh Đồng Nai

Đề: Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^{2}+y^{2}=7z^{2}$

Lời giải: 

Từ $x^{2}+y^{2}=7z^{2}$ suy ra $(x^{2}+y^{2}) \vdots 7$ mà 1 số chính phương chia 7 chỉ dư 0;1;2 hoặc 4 nên $x^{2}$ và $y^{2}$ cùng chia 7 dư 0

$\Rightarrow x^{2},y^{2}\vdots 7\Rightarrow x,y\vdots 7$. Đặt $x=7x_{1},y=7y_{1}$ thì pt trở thành:

$49x_{1}^{2}+49y_{1}^{2}=7z^{2}\Rightarrow 7x_{1}^{2}+7y_{1}^{2}=z^{2}\Rightarrow z\vdots 7$. Đặt $z=7z_{1}^{2}(z_{1}\epsilon \mathbb{Z})$

$\Rightarrow 7x_{1}^{2}+7y_{1}^{2}=49z_{1}^{2}\Rightarrow x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=7z_{1}^{2}$

Vậy nên nếu (x,y,z) là nghiệm của pt thì $(x_{1},y_{1},z_{1})$ cũng là nghiệm của pt. Cmtt :$(x_{n},y_{n},z_{n})$ cũng là nghiệm pt.

Điều này xảy ra khi x=y=z=0. 

Vậy pt có nghiệm duy nhất là x=y=z=0.


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O)  ~O)  ~O)






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh